Калькулятор геометрического распределения

Введите расчет

Число неудач до первого успеха x

Вероятность успеха в одном испытании p

Математическая формула

Show calculation steps (3)

1. Cumulative P(X ≤ x)

   

   probability of at most x failures before the first success

2. Cumulative P(X ≥ x)

   

   probability of at least x failures before the first success

3. Mean (Expected Failures)

   

   expected number of failures before the first success

Результатов

Функция вероятности f(x,p)

0,144

P(X = x)

Lower cumulative P(X ≤ x)	0,784
Upper cumulative P(X ≥ x)	0,36
Математическое ожидание (среднее)	1,5

Что такое геометрическое распределение?

Геометрическое распределение описывает число неудач, которые случаются до первого успеха в последовательности независимых испытаний, где у каждого испытания одна и та же вероятность успеха p. Этот калькулятор использует соглашение «число неудач до первого успеха», поэтому случайная величина x принимает значения 0, 1, 2, … , а функция вероятности (PMF) равна \(f(x,p) = p(1-p)^{x}\). Обратите внимание: существует и другая распространённая форма, где считают номер испытания k, на котором произошёл первый успех (k = 1, 2, …); здесь она не используется, а связь между формами такая: \(x = k - 1\).

Геометрическое распределение: вероятность убывает геометрически по мере роста числа неудач до первого успеха.

Как пользоваться калькулятором

Введите число неудач до первого успеха x (целое неотрицательное число) и вероятность успеха в одном испытании p (значение от 0 до 1). Инструмент вернёт функцию вероятности \(f(x,p)\), нижнюю кумулятивную вероятность \(P(X \le x)\), верхнюю кумулятивную вероятность \(P(X \ge x)\) и среднее (ожидаемое число неудач).

Разбор формул

Пусть \(q = 1 - p\). Функция вероятности:

$$f(x,p) = p\cdot q^{x}$$

Нижняя кумулятивная сумма «сворачивается» (телескопируется) до

$$P(X \le x) = 1 - q^{x+1}$$

Верхний хвост равен

$$P(X \ge x) = q^{x}$$

Среднее:

$$E[X] = \frac{1 - p}{p}$$

Полезное тождество: \(P(X \le x) + P(X \ge x) = 1 + f(x,p)\), поскольку обе вероятности учитывают точку x.

Реклама

Каждое испытание заканчивается неудачей с вероятностью (1-p), пока не наступит первый успех с вероятностью p.

Пример расчёта

Возьмём x = 2 и p = 0,4 (тогда q = 0,6):

$$f(2; 0{,}4) = 0{,}4 \cdot 0{,}6^{2} = 0{,}4 \cdot 0{,}36 = 0{,}144$$

Нижняя кумулятивная вероятность

$$P(X \le 2) = 1 - 0{,}6^{3} = 1 - 0{,}216 = 0{,}784$$

Верхняя кумулятивная вероятность

$$P(X \ge 2) = 0{,}6^{2} = 0{,}36$$

Среднее \(= 0{,}6/0{,}4 = 1{,}5\). Проверка: \(0{,}784 + 0{,}36 - 0{,}144 = 1{,}000\).

Частые вопросы

Учитывается ли в x само успешное испытание? Нет. Здесь x — это только число неудач до первого успеха, поэтому x начинается с 0. Если у вас есть номер испытания k, на котором случился первый успех, используйте \(x = k - 1\).

Что происходит при p = 1? Успех гарантирован в первом же испытании: \(f(0;1) = 1\), \(f(x;1) = 0\) при \(x \ge 1\), а среднее равно 0.

Почему среднее не определено при p = 0? Если ни одно испытание никогда не заканчивается успехом, ожидаемое число неудач бесконечно, поэтому в формуле \((1 - p)/p\) происходит деление на ноль.