Что считает этот калькулятор
Инструмент возвращает перцентиль (квантиль) геометрического распределения: по заданной кумулятивной вероятности и вероятности успеха p в одном испытании он находит значение x. В этой версии геометрическое распределение считает число неудач до первого успеха и определено на значениях \(x = 0, 1, 2, 3, \ldots\). Функция вероятности равна \(f(x, p) = p(1 - p)^{x}\).
Два варианта кумулятивной вероятности
Считать можно от любого «хвоста» распределения. Нижняя кумулятивная вероятность \(P(x, p) = 1 - (1 - p)^{x+1}\) — это вероятность получить не более x неудач. Верхняя кумулятивная вероятность \(Q(x, p) = (1 - p)^{x}\) — это вероятность получить не менее x неудач. Выберите подходящий режим и введите соответствующую вероятность.
Разбор формулы
Обозначим \(q = 1 - p\). Обращаем нижнюю функцию распределения: из \(1 - q^{x+1} = P\) получаем $$x = \frac{\ln(1 - P)}{\ln(q)} - 1.$$ Обращаем верхнюю функцию: из \(q^{x} = Q\) получаем $$x = \frac{\ln(Q)}{\ln(q)}.$$ Поскольку x — это целое число неудач, итоговый перцентиль равен \(\lceil x \rceil\) (округление вверх) и не может быть меньше 0. Для точных расчётов калькулятор также показывает непрерывное (вещественное) решение.
Пример расчёта
Нижний режим, \(P = 0{,}8\), \(p = 0{,}4\). Тогда \(q = 0{,}6\), \(\ln(0{,}6) = -0{,}5108256\). $$x = \frac{\ln(0{,}2)}{\ln(0{,}6)} - 1 = \frac{-1{,}6094379}{-0{,}5108256} - 1 = 3{,}151035 - 1 = 2{,}151035.$$ После округления вверх получаем целый перцентиль \(x = 3\). Проверка: \(P(3) = 1 - 0{,}6^{4} = 0{,}8704 \geq 0{,}8\), тогда как \(P(2) = 0{,}784 < 0{,}8\) — это подтверждает \(x = 3\).
Частые вопросы
Почему перцентиль получается округлением вверх? Целочисленный квантиль — это наименьшее x, при котором кумулятивная вероятность достигает заданного уровня, поэтому непрерывное решение округляем вверх.
Что если p = 0 или p = 1? При \(p = 0\) успех не наступает никогда, поэтому квантиль не определён (бесконечен). При \(p = 1\) вся вероятность сосредоточена в точке \(x = 0\), поэтому квантиль равен 0.
Может ли P быть в точности равно 1? Нет: в нижнем режиме ни одно конечное x не даёт \(P = 1\) (функция распределения лишь приближается к единице), поэтому такой ввод считается неопределённым.
