Что делает этот калькулятор
Логистическое распределение — это непрерывное распределение вероятностей, по форме напоминающее нормальную кривую, но с более тяжёлыми хвостами. Оно широко применяется в логистической регрессии, моделировании роста и анализе надёжности. Этот инструмент решает обратную задачу: по заданной кумулятивной вероятности он возвращает точку перцентиля \(x\) (её также называют квантилем) — то значение, при котором функция распределения (CDF) логистического закона достигает указанной вероятности.
Как пользоваться
Сначала укажите, что именно вы вводите: левую кумулятивную вероятность \(P(X \le x)\) или правую кумулятивную вероятность \(P(X > x)\). Введите вероятность строго в диапазоне от 0 до 1, затем задайте параметр положения \(a\) (он же среднее и медиана) и параметр масштаба \(b\), который должен быть строго больше 0. Калькулятор вернёт значение \(x\), а также фактически использованную вероятность левого хвоста и её логит (логарифм шансов).
Разбор формулы
Функция распределения логистического закона задаётся как $$F(x) = \frac{1}{1 + e^{-(x-a)/b}}.$$ Если выразить отсюда \(x\), получим квантильную функцию:
$$x = \text{a} + \text{b} \cdot \ln\!\left(\frac{\text{p}}{1 - \text{p}}\right)$$
Здесь \(p\) — вероятность левого хвоста. Если вы ввели вероятность правого хвоста \(Q\), калькулятор сначала пересчитает её по формуле \(p = 1 - Q\). Выражение \(\ln\!\left(\frac{p}{1 - p}\right)\) — это логит, или логарифм шансов, заданной вероятности. При \(p = 0{,}5\) логит равен 0, поэтому квантиль совпадает с параметром \(a\) — это подтверждает, что \(a\) является медианой.
Пример расчёта
Пусть тип вероятности — левый хвост, вероятность = 0,9, \(a = 5\), \(b = 2\). Тогда \(\frac{p}{1 - p} = \frac{0{,}9}{0{,}1} = 9\), а \(\ln(9) = 2{,}197224577\). Значит, $$x = 5 + 2 \times 2{,}197224577 = 9{,}394449.$$ Таким образом, 90-й перцентиль этого логистического распределения равен примерно 9,39.
Частые вопросы
Что происходит при вероятности 0,5? Квантиль в точности равен параметру положения \(a\), потому что логистическое распределение симметрично относительно своего среднего и медианы.
Почему вероятность должна быть строго между 0 и 1? При приближении вероятности к 0 квантиль стремится к минус бесконечности, а при приближении к 1 — к плюс бесконечности, поэтому в крайних точках конечного значения не существует.
Что такое параметр масштаба b? Он определяет разброс распределения: чем больше \(b\), тем сильнее растягивается кривая. Стандартное отклонение равно \(b\pi/\sqrt{3}\).
