À quoi sert ce calculateur
La loi logistique est une loi de probabilité continue dont la forme rappelle la courbe normale, mais avec des queues plus épaisses. Elle est très utilisée en régression logistique, dans la modélisation de la croissance et en analyse de fiabilité. Cet outil résout le problème inverse : à partir d'une probabilité cumulée, il renvoie le point de percentile x (aussi appelé quantile) où la fonction de répartition (FdR) de la loi logistique atteint cette probabilité.
Comment l'utiliser
Indiquez d'abord si votre probabilité correspond à une valeur cumulée inférieure \(P(X \le x)\) ou cumulée supérieure \(P(X > x)\). Saisissez ensuite la probabilité sous la forme d'un nombre strictement compris entre 0 et 1, puis renseignez le paramètre de position a (la moyenne et la médiane) et le paramètre d'échelle b, qui doit être strictement positif. Le calculateur renvoie x, ainsi que la probabilité de queue inférieure réellement utilisée et son logit (log des cotes).
La formule expliquée
La fonction de répartition logistique s'écrit \(F(x) = 1 / (1 + e^{-(x-a)/b})\). En résolvant cette équation par rapport à x, on obtient la fonction quantile :
$$x = \text{a} + \text{b} \cdot \ln\!\left(\frac{\text{p}}{1 - \text{p}}\right)$$
Ici, p désigne la probabilité de queue inférieure. Si vous avez saisi une valeur de queue supérieure Q, le calculateur la convertit d'abord avec \(p = 1 - Q\). Le terme \(\ln(p / (1 - p))\) est le logit, c'est-à-dire le logarithme des cotes (log-odds) de la probabilité. Lorsque \(p = 0{,}5\), le logit vaut 0 : le quantile est alors égal à la position a, ce qui confirme que a est bien la médiane.
Exemple concret
Supposons que le type de probabilité soit « inférieur », avec une probabilité = 0,9, a = 5 et b = 2. On a alors \(p / (1 - p) = 0{,}9 / 0{,}1 = 9\), et \(\ln(9) = 2{,}197224577\). D'où $$x = 5 + 2 \times 2{,}197224577 = 9{,}394449.$$ Le 90e percentile de cette loi logistique vaut donc environ 9,39.
FAQ
Que se passe-t-il à une probabilité de 0,5 ? Le quantile est exactement égal à la position a, car la loi logistique est symétrique autour de sa moyenne et de sa médiane.
Pourquoi la probabilité doit-elle être strictement comprise entre 0 et 1 ? À mesure que la probabilité tend vers 0, le quantile tend vers moins l'infini, et lorsqu'elle tend vers 1, il tend vers plus l'infini : les bornes n'ont donc aucune valeur finie.
Qu'est-ce que le paramètre d'échelle b ? Il contrôle la dispersion de la loi : plus b est grand, plus la courbe s'étire. L'écart type est égal à \(b\pi/\sqrt{3}\).
