Ce que fait ce calculateur
Cet outil calcule le point percentile d'une loi de Poisson. À partir d'une moyenne (lambda) et d'une probabilité cumulée cible, il renvoie le nombre entier d'événements x correspondant à cette probabilité. Il s'agit de l'inverse de la fonction de répartition (CDF) de Poisson, disponible en deux modes : cumulé inférieur P et cumulé supérieur Q.
Comment l'utiliser
Choisissez d'abord le mode cumulé. En mode Cumulé inférieur P, saisissez la probabilité de queue inférieure cible P : le calculateur renvoie le plus petit entier x tel que \(P(x, \lambda) \ge P\). En mode Cumulé supérieur Q, saisissez la probabilité de queue supérieure Q : il renvoie le plus grand x tel que \(Q(x, \lambda) \ge Q\), selon la convention de ce site incluant x, soit \(Q(x) = 1 - P(x-1)\). Indiquez ensuite la moyenne lambda (nombre attendu d'événements). Toutes les entrées sont sans dimension.
La formule expliquée
La fonction de masse de probabilité s'écrit $$f(t, \lambda) = e^{-\lambda} \cdot \frac{\lambda^{t}}{t!}.$$ Les termes sont calculés de façon itérative pour garantir la stabilité numérique : \(\text{terme}(0) = e^{-\lambda}\) et \(\text{terme}(t) = \text{terme}(t-1) \cdot \frac{\lambda}{t}\), ce qui évite les débordements liés à \(\lambda^{t}\) et à \(t!\). Le cumulé inférieur correspond à la somme progressive de ces termes ; le cumulé supérieur vaut 1 moins le cumulé inférieur décalé d'un indice.
$$x^{*} = \min\left\{\, x \in \mathbb{Z}_{\ge 0} : \sum_{k=0}^{x} \frac{e^{-\lambda}\,\lambda^{k}}{k!} \ge \text{p} \,\right\}, \quad \lambda = \text{Mean } \lambda$$
$$x^{*} = \max\left\{\, x \in \mathbb{Z}_{\ge 0} : 1 - \sum_{k=0}^{x-1} \frac{e^{-\lambda}\,\lambda^{k}}{k!} \ge \text{p} \,\right\}, \quad \lambda = \text{Mean } \lambda$$
Exemple concret
Avec \(P = 0{,}3\) et \(\lambda = 5\) en mode inférieur, le cumul progressif donne \(P(0)=0{,}0067\), \(P(1)=0{,}0404\), \(P(2)=0{,}1247\), \(P(3)=0{,}2650\), \(P(4)=0{,}4405\). Le premier x à atteindre \(0{,}3\) est \(x = 4\). En mode supérieur avec \(Q = 0{,}3\) et \(\lambda = 5\), on a \(Q(6)=0{,}384\) et \(Q(7)=0{,}238\) ; le plus grand x tel que \(Q \ge 0{,}3\) est donc \(x = 6\).
FAQ
Pourquoi le mode supérieur inclut-il x dans la somme ? Ce site définit \(Q(x)\) comme la somme de \(t = x\) à l'infini, soit \(Q(x) = 1 - P(x-1)\), ce qui diffère de la convention courante \(P(X > x)\).
Que se passe-t-il lorsque lambda = 0 ? Toute la masse se concentre en \(t = 0\) : le percentile inférieur vaut donc 0 et \(Q(x)=0\) pour tout \(x \ge 1\).
Et si je saisis une probabilité en dehors de l'intervalle 0 à 1 ? Le calculateur la signale comme invalide ; les probabilités doivent vérifier \(0 \le P, Q \le 1\) et \(\lambda \ge 0\).
