泊松分布百分位数（逆累积分布函数 CDF）计算器

x 处实际达到的累积概率	0.440493

这个计算器能做什么

本工具用于计算泊松分布的百分位点。只要给定均值 $\lambda$ 和一个目标累积概率，它就会返回与该概率对应的整数事件计数 $x$。它是泊松累积分布函数（CDF）的逆运算，支持两种模式：下侧累积 P 和上侧累积 Q。

使用方法

首先选择累积模式。在 下侧累积 P 模式下，输入目标下尾概率 P，计算器会返回满足 $P(x, \lambda) \ge P$ 的最小整数 $x$；在 上侧累积 Q 模式下，输入上尾概率 Q，计算器会返回满足 $Q(x, \lambda) \ge Q$ 的最大整数 $x$。本站采用「含 x」的约定，即 $Q(x) = 1 - P(x-1)$。随后输入均值 $\lambda$（即事件发生次数的期望值）。所有输入均为无量纲数值。

公式详解

泊松分布的概率质量函数为 $$f(t, \lambda) = \frac{e^{-\lambda}\,\lambda^{t}}{t!}$$ 为保证数值稳定，各项采用迭代方式逐步求出：$\text{term}(0) = e^{-\lambda}$，$\text{term}(t) = \text{term}(t-1) \cdot \frac{\lambda}{t}$，从而避免直接计算 $\lambda^{t}$ 与 $t!$ 时可能出现的数值溢出。下侧累积概率即为这些项的累加和：$$x^{*} = \min\left\{\, x \in \mathbb{Z}_{\ge 0} : \sum_{k=0}^{x} \frac{e^{-\lambda}\,\lambda^{k}}{k!} \ge \text{p} \,\right\}, \quad \lambda = \text{Mean } \lambda$$ 上侧累积概率则是 1 减去向后错位一个下标的下侧累积概率：$$x^{*} = \max\left\{\, x \in \mathbb{Z}_{\ge 0} : 1 - \sum_{k=0}^{x-1} \frac{e^{-\lambda}\,\lambda^{k}}{k!} \ge \text{p} \,\right\}, \quad \lambda = \text{Mean } \lambda$$

泊松 CDF 阶梯图，P 处的水平线向下映射到整数百分位数 x — 读取逆 CDF：找到累积曲线首次达到 P 的位置即可得到 x。

泊松柱状图，将阈值 x 以内的柱子着色以显示累积概率 P — 百分位数 x 是累积概率达到目标 P 的最小计数。

实例演算

在下侧模式下，取 $P = 0.3$、$\lambda = 5$，累积概率依次为 $P(0)=0.0067$、$P(1)=0.0404$、$P(2)=0.1247$、$P(3)=0.2650$、$P(4)=0.4405$。首个达到 0.3 的 $x$ 是 $x = 4$。在上侧模式下，取 $Q = 0.3$、$\lambda = 5$，有 $Q(6)=0.384$、$Q(7)=0.238$，因此满足 $Q \ge 0.3$ 的最大 $x$ 是 $x = 6$。