Bu hesaplayıcı ne işe yarar?
Bu araç, bir Poisson dağılımının yüzdelik noktasını hesaplar. Bir ortalama (lambda) ve hedef bir birikimli olasılık verdiğinizde, bu olasılığa karşılık gelen tam sayı olay sayısı x'i döndürür. Aslında bu, Poisson birikimli dağılım fonksiyonunun (CDF) tersidir ve iki modda çalışır: alt birikimli P ve üst birikimli Q.
Nasıl kullanılır?
Önce bir birikimli mod seçin. Alt birikimli P modunda hedef alt kuyruk olasılığı P'yi girin; hesaplayıcı, \(P(x, \lambda) \ge P\) koşulunu sağlayan en küçük tam sayı x'i verir. Üst birikimli Q modunda üst kuyruk olasılığı Q'yu girin; bu sitenin x'i de kapsayan \(Q(x) = 1 - P(x-1)\) tanımına göre, \(Q(x, \lambda) \ge Q\) koşulunu sağlayan en büyük x'i döndürür. Ardından ortalama lambda değerini (beklenen olay sayısı) girin. Tüm girdiler boyutsuzdur.
Formülün açıklaması
Olasılık kütle fonksiyonu $$f(t, \lambda) = e^{-\lambda} \cdot \frac{\lambda^{t}}{t!}$$ şeklindedir. Terimler, sayısal kararlılık için yinelemeli olarak oluşturulur: \(\text{term}(0) = e^{-\lambda}\) ve \(\text{term}(t) = \text{term}(t-1) \cdot \frac{\lambda}{t}\). Böylece \(\lambda^{t}\) ve \(t!\) ifadelerinden kaynaklanan taşma (overflow) sorunundan kaçınılır. Alt birikimli olasılık, bu terimlerin koşan toplamıdır; üst birikimli olasılık ise bir indeks kaydırılmış alt birikimli toplamın 1'den çıkarılmasıyla bulunur.
$$x^{*} = \min\left\{\, x \in \mathbb{Z}_{\ge 0} : \sum_{k=0}^{x} \frac{e^{-\lambda}\,\lambda^{k}}{k!} \ge \text{p} \,\right\}, \quad \lambda = \text{Mean } \lambda$$$$x^{*} = \max\left\{\, x \in \mathbb{Z}_{\ge 0} : 1 - \sum_{k=0}^{x-1} \frac{e^{-\lambda}\,\lambda^{k}}{k!} \ge \text{p} \,\right\}, \quad \lambda = \text{Mean } \lambda$$
Çözümlü örnek
Alt modda \(P = 0{,}3\) ve \(\lambda = 5\) için koşan birikimli değerler şöyle ilerler: \(P(0)=0{,}0067\), \(P(1)=0{,}0404\), \(P(2)=0{,}1247\), \(P(3)=0{,}2650\), \(P(4)=0{,}4405\). 0,3 değerine ulaşan ilk x değeri \(x = 4\)'tür. Üst modda \(Q = 0{,}3\) ve \(\lambda = 5\) için \(Q(6)=0{,}384\) ve \(Q(7)=0{,}238\) olduğundan, \(Q \ge 0{,}3\) koşulunu sağlayan en büyük x değeri \(x = 6\) olur.
Sık sorulan sorular
Üst mod neden x'i de toplama dâhil ediyor? Bu site \(Q(x)\)'i t = x'ten sonsuza kadar olan toplam, yani \(Q(x) = 1 - P(x-1)\) olarak tanımlar. Bu, yaygın olarak kullanılan \(P(X > x)\) tanımından farklıdır.
Lambda = 0 olduğunda ne olur? Tüm olasılık kütlesi t = 0 noktasında toplanır; dolayısıyla alt yüzdelik 0 olur ve \(x \ge 1\) olan her x için \(Q(x)=0\) olur.
0 ile 1 aralığı dışında bir olasılık girersem ne olur? Hesaplayıcı bunu geçersiz olarak işaretler; olasılıklar \(0 \le P, Q \le 1\) ve \(\lambda \ge 0\) koşullarını sağlamalıdır.
