Что вычисляет этот калькулятор
Инструмент находит перцентиль распределения Пуассона. По заданному среднему значению (\(\lambda\)) и целевой накопленной вероятности он возвращает целое число событий \(x\), соответствующее этой вероятности. Это операция, обратная функции распределения (CDF) Пуассона. Калькулятор работает в двух режимах: нижняя накопленная вероятность \(P\) и верхняя накопленная вероятность \(Q\).
Как пользоваться калькулятором
Сначала выберите режим накопления. В режиме нижней вероятности P введите целевую вероятность левого хвоста \(P\) — калькулятор вернёт наименьшее целое \(x\), при котором \(P(x, \lambda) \ge P\). В режиме верхней вероятности Q введите вероятность правого хвоста \(Q\) — будет возвращено наибольшее \(x\), при котором \(Q(x, \lambda) \ge Q\). На этом сайте используется соглашение, включающее само \(x\): \(Q(x) = 1 - P(x-1)\). Затем укажите среднее \(\lambda\) (ожидаемое число событий). Все входные величины безразмерны.
Разбор формулы
Функция вероятности массы записывается как $$f(t, \lambda) = e^{-\lambda} \cdot \frac{\lambda^{t}}{t!}.$$ Для устойчивости вычислений члены строятся итеративно: \(\text{term}(0) = e^{-\lambda}\), а \(\text{term}(t) = \text{term}(t-1) \cdot \frac{\lambda}{t}\). Такой приём позволяет избежать переполнения, которое возникает при прямом вычислении \(\lambda^{t}\) и \(t!\). Нижняя накопленная вероятность — это нарастающая сумма этих членов, а верхняя — единица минус нижняя сумма, сдвинутая на один индекс.
Пример расчёта
Пусть \(P = 0{,}3\) и \(\lambda = 5\) в нижнем режиме. Нарастающая накопленная вероятность принимает значения: $$P(0)=0{,}0067,\quad P(1)=0{,}0404,\quad P(2)=0{,}1247,\quad P(3)=0{,}2650,\quad P(4)=0{,}4405.$$ Первое \(x\), достигающее \(0{,}3\), — это \(x = 4\). В верхнем режиме при \(Q = 0{,}3\) и \(\lambda = 5\) имеем \(Q(6)=0{,}384\) и \(Q(7)=0{,}238\), поэтому наибольшее \(x\), при котором \(Q \ge 0{,}3\), равно \(x = 6\).
Частые вопросы
Почему в верхнем режиме x включается в сумму? На этом сайте \(Q(x)\) определяется как сумма от \(t = x\) до бесконечности, то есть \(Q(x) = 1 - P(x-1)\). Это отличается от более распространённого соглашения \(P(X > x)\).
Что происходит при \(\lambda = 0\)? Вся вероятностная масса сосредоточена в точке \(t = 0\), поэтому нижний перцентиль равен \(0\), а \(Q(x)=0\) для любого \(x \ge 1\).
Что будет, если ввести вероятность вне диапазона от 0 до 1? Калькулятор пометит ввод как некорректный. Вероятности должны удовлетворять условиям \(0 \le P, Q \le 1\), а \(\lambda \ge 0\).
