Что такое логистическое распределение?
Логистическое распределение — это непрерывное распределение вероятностей, по форме напоминающее нормальное, но с более «тяжёлыми» хвостами. Оно задаётся параметром положения a (который совпадает со средним и медианой) и параметром масштаба b > 0. Его функция распределения — это хорошо знакомая логистическая сигмоида, и именно поэтому это распределение встречается в логистической регрессии, моделях роста и машинном обучении. Калькулятор основан на чистой математике и работает одинаково в любой стране, без каких-либо национальных особенностей или допущений.
Как пользоваться калькулятором
Сначала выберите, что нужно вычислить: плотность вероятности f, нижнюю накопленную вероятность P (CDF) или верхнюю накопленную вероятность Q (функцию выживания). Введите параметр положения a и масштаб b. Затем задайте сетку значений x: начальное значение, шаг и количество точек. Калькулятор формирует значения \(x_i = \text{startX} + i\cdot\text{stepX}\) для \(i = 0..\text{points}-1\), вычисляет выбранную функцию в каждой точке, показывает основное значение в первой точке x, выводит весь ряд и строит линейный график.
Разбор формулы
Введём стандартизированную переменную \(z = (x - a)/b\) и \(E = e^{-z}\). Плотность равна $$f = \frac{1}{b}\cdot\frac{E}{(1+E)^2}.$$ Если обозначить сигмоиду как \(\sigma = 1/(1+E)\), то это выражение принимает вид \(\sigma(1-\sigma)/b\). Нижняя функция распределения (CDF) — это просто $$P = \sigma = \frac{1}{1+e^{-z}},$$ монотонно возрастающая от 0 до 1, а верхняя функция (выживания) — \(Q = 1 - P\). Чтобы избежать переполнения, сигмоида вычисляется как \(1/(1+e^{-z})\) при \(z \geq 0\) и как \(e^z/(1+e^z)\) при \(z < 0\).
Пример расчёта
Пусть \(a = 0\) и \(b = 0{,}7\), вычисляем в точке \(x = 0{,}7\). Тогда \(z = 1\) и \(E = e^{-1} = 0{,}367879\). Плотность $$f = \frac{1}{0{,}7}\cdot\frac{0{,}367879}{(1{,}367879)^2} \approx 0{,}28087.$$ Нижняя CDF \(P = 1/1{,}367879 \approx 0{,}73106\). Верхняя CDF \(Q = 1 - 0{,}73106 \approx 0{,}26894\). В точке медианы \(x = a = 0\) плотность достигает максимума \(1/(4b) = 0{,}35714\), а \(P = Q = 0{,}5\).
Частые вопросы
Что будет, если b равно нулю или отрицательно? В этом случае распределение не определено: калькулятор требует, чтобы \(b > 0\), иначе он выдаёт ошибку.
Чему равны среднее и дисперсия? Среднее (и медиана) равно \(a\), а дисперсия составляет \((\pi^2/3)\cdot b^2\).
Можно ли задать убывающую сетку? Да — при отрицательном шаге значения x будут уменьшаться, а при шаге 0 функция будет вычисляться в каждой точке при одном и том же начальном x.
