लॉजिस्टिक वितरण क्या है?
लॉजिस्टिक वितरण एक सतत प्रायिकता वितरण है, जो देखने में सामान्य (नॉर्मल) वितरण जैसा होता है, पर इसकी पूँछें (tails) ज़्यादा भारी होती हैं। इसे एक स्थान पैरामीटर a (जो इसके माध्य और माध्यिका, दोनों के बराबर होता है) और एक स्केल पैरामीटर b > 0 से परिभाषित किया जाता है। इसका संचयी वितरण फ़ंक्शन वही जाना-पहचाना लॉजिस्टिक सिग्मॉइड है — यही वजह है कि यह वितरण लॉजिस्टिक रिग्रेशन, वृद्धि (growth) मॉडलिंग और मशीन लर्निंग में हर जगह दिखाई देता है। यह कैलकुलेटर पूरी तरह गणित पर आधारित है और दुनिया भर में एक जैसा लागू होता है — इसमें किसी देश-विशेष की कोई मान्यता शामिल नहीं है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
सबसे पहले चुनें कि आप कौन-सा फ़ंक्शन निकालना चाहते हैं: प्रायिकता घनत्व f, निचली संचयी प्रायिकता P (यानी CDF), या ऊपरी संचयी प्रायिकता Q (सर्वाइवल फ़ंक्शन)। इसके बाद स्थान a और स्केल b दर्ज करें। फिर x की ग्रिड बताएँ: शुरुआती x, स्टेप, और बिंदुओं की संख्या। यह टूल \(x_i = \text{startX} + i\cdot\text{stepX}\) (जहाँ \(i = 0..\text{points}-1\)) के अनुसार मान बनाता है, हर बिंदु पर चुने गए फ़ंक्शन का मान निकालता है, पहले x पर मुख्य मान दिखाता है, पूरी श्रृंखला सूचीबद्ध करता है और एक रेखा-ग्राफ़ बनाता है।
सूत्र की व्याख्या
मानकीकृत चर \(z = (x - a)/b\) और \(E = e^{-z}\) मान लें। घनत्व $$f = \frac{1}{b}\cdot\frac{E}{(1+E)^{2}}$$ होता है। यदि सिग्मॉइड \(\sigma = 1/(1+E)\) लिखें, तो यह \(\sigma(1-\sigma)/b\) के बराबर होता है। निचला CDF बस $$P = \sigma = \frac{1}{1+e^{-z}}$$ है, जो 0 से 1 तक एकदिशीय (monotonically) बढ़ता है, और ऊपरी (सर्वाइवल) फ़ंक्शन \(Q = 1 - P\) है। ओवरफ़्लो से बचने के लिए सिग्मॉइड की गणना \(z \geq 0\) होने पर \(1/(1+e^{-z})\) और \(z < 0\) होने पर \(e^z/(1+e^z)\) के रूप में की जाती है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लें \(a = 0\) और \(b = 0.7\), और इसे \(x = 0.7\) पर निकालें। तब \(z = 1\) और \(E = e^{-1} = 0.367879\)। घनत्व $$f = \frac{1}{0.7}\cdot\frac{0.367879}{(1.367879)^{2}} \approx 0.28087$$ निचला CDF $$P = \frac{1}{1.367879} \approx 0.73106$$ ऊपरी CDF $$Q = 1 - 0.73106 \approx 0.26894$$ माध्यिका \(x = a = 0\) पर आपको शिखर घनत्व \(1/(4b) = 0.35714\) और \(P = Q = 0.5\) मिलता है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
अगर b शून्य या ऋणात्मक हो तो? ऐसी स्थिति में वितरण परिभाषित ही नहीं होता; कैलकुलेटर के लिए \(b > 0\) ज़रूरी है, वरना यह त्रुटि (error) दिखाता है।
माध्य और प्रसरण (variance) क्या होते हैं? माध्य (और माध्यिका) a के बराबर होता है, और प्रसरण \((\pi^{2}/3)\cdot b^{2}\) होता है।
क्या मैं घटते क्रम वाली ग्रिड इस्तेमाल कर सकता हूँ? हाँ — ऋणात्मक स्टेप से x के मान घटते जाते हैं, और 0 स्टेप पर हर बिंदु शुरुआती x पर ही गणना करता है।
