Phân phối logistic là gì?
Phân phối logistic là một phân phối xác suất liên tục có hình dạng tương tự phân phối chuẩn nhưng đuôi dày hơn. Nó được xác định bởi tham số vị trí a (cũng chính là giá trị trung bình và trung vị) và tham số tỉ lệ b > 0. Hàm phân phối tích lũy của nó chính là hàm sigmoid logistic quen thuộc — đó là lý do phân phối này xuất hiện khắp nơi trong hồi quy logistic, mô hình hóa tăng trưởng và học máy. Máy tính này thuần túy là toán học và áp dụng giống hệt nhau ở mọi nơi, không phụ thuộc vào quy định riêng của bất kỳ quốc gia nào.
Cách sử dụng máy tính
Trước tiên, chọn hàm cần tính: mật độ xác suất f, xác suất tích lũy dưới P (tức CDF), hoặc xác suất tích lũy trên Q (hàm sống sót). Nhập tham số vị trí a và tỉ lệ b. Sau đó mô tả lưới giá trị x: giá trị x ban đầu, bước nhảy và số điểm. Công cụ sẽ tạo ra \(x_i = \text{startX} + i\cdot\text{stepX}\) với \(i = 0..\text{points}-1\), tính hàm đã chọn tại từng điểm, hiển thị giá trị nổi bật tại x đầu tiên, liệt kê toàn bộ chuỗi và vẽ đồ thị đường.
Giải thích công thức
Đặt biến chuẩn hóa \(z = (x - a)/b\) và \(E = e^{-z}\). Hàm mật độ là
$$f = \frac{1}{b}\cdot\frac{E}{(1+E)^{2}}$$Nếu ký hiệu sigmoid là \(\sigma = 1/(1+E)\), thì biểu thức này bằng \(\sigma(1-\sigma)/b\). CDF dưới đơn giản là
$$P = \sigma = \frac{1}{1+e^{-z}}$$tăng đơn điệu từ 0 đến 1, còn hàm sống sót (CDF trên) là \(Q = 1 - P\). Để tránh tràn số, sigmoid được tính bằng \(1/(1+e^{-z})\) khi \(z \geq 0\) và bằng \(e^z/(1+e^z)\) khi \(z < 0\).
Ví dụ minh họa
Với \(a = 0\) và \(b = 0.7\), hãy tính tại \(x = 0.7\). Khi đó \(z = 1\) và \(E = e^{-1} = 0.367879\). Mật độ
$$f = \frac{1}{0.7}\cdot\frac{0.367879}{(1.367879)^{2}} \approx 0.28087$$CDF dưới \(P = 1/1.367879 \approx 0.73106\). CDF trên \(Q = 1 - 0.73106 \approx 0.26894\). Tại trung vị \(x = a = 0\), bạn đạt mật độ cực đại \(1/(4b) = 0.35714\) và \(P = Q = 0.5\).
Câu hỏi thường gặp
Nếu b bằng 0 hoặc âm thì sao? Phân phối không xác định; máy tính yêu cầu \(b > 0\), nếu không sẽ báo lỗi.
Trung bình và phương sai bằng bao nhiêu? Trung bình (và trung vị) bằng \(a\), còn phương sai là \((\pi^{2}/3)\cdot b^{2}\).
Tôi có thể dùng lưới giảm dần không? Có — bước nhảy âm sẽ tạo ra các giá trị x giảm dần, và bước nhảy bằng 0 sẽ tính mọi điểm tại đúng giá trị x ban đầu.
