Máy tính phân phối t-Student là gì?
Công cụ này tính phân phối t-Student tại một giá trị x cho trước (thống kê t) và bậc tự do ν. Kết quả gồm ba đại lượng: hàm mật độ xác suất f(x), xác suất tích lũy dưới P(T ≤ x) và xác suất tích lũy trên Q = P(T > x) = 1 − P. Đây hoàn toàn là toán học thuần túy nên áp dụng được ở mọi nơi; không liên quan đến quy định riêng của bất kỳ quốc gia nào.
Cách sử dụng
Nhập một số thực bất kỳ cho x (có thể là số âm) và một số dương cho bậc tự do ν (thường là số nguyên như 5, 10 hay 30, nhưng mọi giá trị ν > 0 đều được chấp nhận). Bấm tính để nhận hàm mật độ cùng cả hai xác suất đuôi. Khi ν càng lớn, phân phối càng hội tụ về phân phối chuẩn tắc N(0, 1).
Giải thích công thức
Hàm mật độ là $$f(\text{x}) = \frac{\Gamma\!\left(\frac{\nu+1}{2}\right)}{\sqrt{\nu\pi}\;\Gamma\!\left(\frac{\nu}{2}\right)}\left(1 + \frac{\text{x}^{2}}{\nu}\right)^{-\frac{\nu+1}{2}}$$, trong đó \(\Gamma\) là hàm gamma. Xác suất tích lũy dùng hàm beta không đầy đủ chính tắc: với \(z = \frac{\nu}{\nu + \text{x}^{2}}\), ta có \(P(T \le \text{x}) = 1 - \tfrac{1}{2}\,I_{z}\!\left(\tfrac{\nu}{2},\tfrac{1}{2}\right)\) khi \(\text{x} \ge 0\) và \(\tfrac{1}{2}\,I_{z}\!\left(\tfrac{\nu}{2},\tfrac{1}{2}\right)\) khi \(\text{x} < 0\). Chúng tôi tính hàm mật độ trong miền logarit bằng xấp xỉ log-gamma Lanczos, và tính hàm beta không đầy đủ qua phân số liên tục Lentz để bảo đảm ổn định số học.
Ví dụ minh họa
Với \(\text{x} = 1.0\) và \(\nu = 10\): hàm mật độ \(f(1) \approx 0.2304\). Xác suất tích lũy dưới \(P(T \le 1.0) \approx 0.8303\), nên xác suất tích lũy trên \(Q \approx 0.1697\), đúng khớp với bảng tra t tiêu chuẩn.
Câu hỏi thường gặp
ν có thể là số không nguyên không? Có. Công thức đúng với mọi số thực ν > 0; máy tính chấp nhận bậc tự do là số thập phân.
Xác suất tích lũy trên có ý nghĩa gì? Đó là diện tích phần đuôi bên phải, P(T > x). Để tính giá trị p hai phía với x dương, bạn dùng 2·Q.
Vì sao với ν lớn đồ thị trông giống đường cong chuẩn? Khi bậc tự do tăng, hai đuôi nặng của phân phối t thu hẹp lại và nó tiến dần đến phân phối chuẩn tắc.
