ما هي حاسبة توزيع ستيودنت t؟
تتيح لك هذه الأداة تقييم توزيع ستيودنت t عند قيمة معيّنة x (أي إحصائية t) ودرجات حرية ν. وهي تُرجِع ثلاث قيم: كثافة الاحتمال f(x)، والاحتمال التراكمي الأدنى P(T ≤ x)، والاحتمال التراكمي الأعلى Q = P(T > x) = 1 − P. وهذا حساب رياضي بحت ينطبق في كل مكان دون أي قواعد خاصة بدولة أو منطقة معيّنة.
طريقة الاستخدام
أدخل أي عدد حقيقي للقيمة \(x\) (ويمكن أن يكون سالبًا)، وعددًا موجبًا لدرجات الحرية \(\nu\) (وغالبًا ما يكون عددًا صحيحًا مثل 5 أو 10 أو 30، لكن أي قيمة \(\nu > 0\) مقبولة). ثم اضغط على زر الحساب للحصول على الكثافة واحتمالَي الذيلين. وكلما زادت قيمة \(\nu\) اقترب التوزيع من التوزيع الطبيعي المعياري N(0, 1).
شرح المعادلة
تُعطى الكثافة بالعلاقة
$$f(\text{x}) = \frac{\Gamma\!\left(\frac{\nu+1}{2}\right)}{\sqrt{\nu\pi}\;\Gamma\!\left(\frac{\nu}{2}\right)}\left(1 + \frac{\text{x}^{2}}{\nu}\right)^{-\frac{\nu+1}{2}}$$حيث \(\Gamma\) هي دالة غاما. أما الاحتمال التراكمي فيعتمد على دالة بيتا الناقصة المنظَّمة: بوضع \(z = \nu/(\nu + \text{x}^{2})\)، يكون \(P(T \le x) = 1 - \tfrac{1}{2}\,I_{z}(\tfrac{\nu}{2}, \tfrac{1}{2})\) عندما \(x \ge 0\)، ويكون \(\tfrac{1}{2}\,I_{z}(\tfrac{\nu}{2}, \tfrac{1}{2})\) عندما \(x < 0\). ونحسب الكثافة في الفضاء اللوغاريتمي باستخدام تقريب لانتزوس لِلوغاريتم دالة غاما، ونحسب دالة بيتا الناقصة عبر كسر لِنتز المستمر لضمان الاستقرار العددي.
مثال محلول
عند \(x = 1.0\) و\(\nu = 10\): تكون الكثافة \(f(1) \approx 0.2304\). ويبلغ الاحتمال التراكمي الأدنى \(P(T \le 1.0) \approx 0.8303\)، ومن ثمّ يكون الاحتمال التراكمي الأعلى \(Q \approx 0.1697\)، وهي قيم تتطابق مع جداول t المعيارية.
الأسئلة الشائعة
هل يمكن أن تكون \(\nu\) عددًا غير صحيح؟ نعم. فالمعادلة صحيحة لأي قيمة حقيقية \(\nu > 0\)، والحاسبة تقبل درجات الحرية العشرية.
ماذا يعني الاحتمال التراكمي الأعلى؟ إنه المساحة الواقعة في الذيل الأيمن، أي \(P(T > x)\). وللحصول على قيمة p ثنائية الجانب عند قيمة x موجبة، تستخدم \(2\cdot Q\).
لماذا يبدو المنحنى مثل المنحنى الطبيعي عند قيم \(\nu\) الكبيرة؟ مع ازدياد درجات الحرية تتقلّص الذيول الثقيلة لتوزيع t، فيقترب تدريجيًا من التوزيع الطبيعي المعياري.
