Калькулятор t-распределения Стьюдента

Введите расчет

x (значение)

Degrees of freedom ν

Математическая формула

Show calculation steps (1)

1. Cumulative Distribution Function (CDF)

   

   Lower-tail probability using the regularized incomplete beta function I; z = nu / (nu + x^2). For x > 0 the value is 1 minus half of the same expression.

Результатов

Плотность вероятности f(x)

0,230362

значение плотности t-распределения в точке x

Lower cumulative probability P(T ≤ x)	0,829553
Upper cumulative probability Q(T > x)	0,170447

Что такое калькулятор t-распределения Стьюдента?

Этот инструмент рассчитывает распределение Стьюдента для заданного значения x (t-статистики) и числа степеней свободы ν. Он возвращает три величины: плотность вероятности f(x), нижнюю кумулятивную вероятность P(T ≤ x) и верхнюю кумулятивную вероятность Q = P(T > x) = 1 − P. Это чистая математика, которая работает одинаково во всём мире — никаких региональных правил здесь нет.

Распределение Стьюдента имеет колоколообразную форму с более тяжёлыми хвостами; с ростом числа степеней свободы оно приближается к нормальной кривой.

Как пользоваться калькулятором

Введите любое действительное число для x (оно может быть отрицательным) и положительное число для степеней свободы ν (обычно это целое число — например, 5, 10 или 30, но допустимо любое \(\nu > 0\)). Нажмите «Рассчитать», чтобы получить плотность и обе хвостовые вероятности. С ростом \(\nu\) распределение всё больше приближается к стандартному нормальному \(N(0, 1)\).

Разбор формулы

Плотность задаётся выражением $$f(\text{x}) = \frac{\Gamma\!\left(\frac{\nu+1}{2}\right)}{\sqrt{\nu\pi}\;\Gamma\!\left(\frac{\nu}{2}\right)}\left(1 + \frac{\text{x}^{2}}{\nu}\right)^{-\frac{\nu+1}{2}}$$ где \(\Gamma\) — гамма-функция. Кумулятивная вероятность вычисляется через регуляризованную неполную бета-функцию: при \(z = \nu/(\nu + \text{x}^{2})\) имеем \(P(T \le \text{x}) = 1 - \tfrac{1}{2}\,I_{z}(\nu/2, 1/2)\) для \(\text{x} \ge 0\) и \(P(T \le \text{x}) = \tfrac{1}{2}\,I_{z}(\nu/2, 1/2)\) для \(\text{x} < 0\). Плотность мы считаем в логарифмическом пространстве с помощью аппроксимации логарифма гамма-функции по Ланцошу, а неполную бета-функцию — через цепную дробь Ленца, что обеспечивает высокую численную устойчивость.

Реклама

f(x) — высота кривой, P(T≤x) — закрашенная площадь слева, а Q — оставшийся правый хвост.

Пример расчёта

Пусть \(\text{x} = 1.0\) и \(\nu = 10\): плотность \(f(1) \approx 0{,}2304\). Нижняя кумулятивная вероятность \(P(T \le 1.0) \approx 0{,}8303\), поэтому верхняя кумулятивная вероятность \(Q \approx 0{,}1697\) — эти значения совпадают со стандартными таблицами t-распределения.

Частые вопросы

Может ли ν быть нецелым? Да. Формула справедлива для любого действительного \(\nu > 0\), и калькулятор принимает дробное число степеней свободы.

Что означает верхняя кумулятивная вероятность? Это площадь правого хвоста, \(P(T > \text{x})\). Чтобы получить двустороннее p-значение при положительном x, нужно использовать \(2\cdot Q\).

Почему при больших ν график похож на нормальную кривую? С увеличением числа степеней свободы тяжёлые хвосты t-распределения «сжимаются», и оно стремится к стандартному нормальному распределению.