Что считает этот калькулятор
Это чисто математический инструмент для расчёта вероятностей на основе биномиального распределения. Он показывает, насколько вероятно, что определённый исход наступит ровно m раз за n независимых испытаний, если в каждом отдельном испытании успех происходит с вероятностью p. Классический пример — бросок честного шестигранного кубика: каждая конкретная грань выпадает с вероятностью \(p = 1/6\) при каждом броске. Но сама формула универсальна — подойдёт любая вероятность успеха от 0 до 1: подбрасывание монеты, попадание штрафного броска, доля брака на производстве и многое другое.
Как пользоваться
Укажите число испытаний n (от 1 до 500), вероятность успеха в одном испытании p и нужное число успехов m. Значение p можно ввести десятичной дробью, например 0,1667, либо обыкновенной дробью, например 1/6 — калькулятор сам переведёт дробь в десятичное значение. Важно: p — это вероятность в диапазоне от 0 до 1, а не проценты. Вводите 1/6, а не 16,67. В результате вы увидите \(P(X = m)\), а также полную таблицу \(P(X = m)\) для каждого m от 0 до n, накопленные вероятности \(P(X \le m)\) и \(P(X \ge m)\), математическое ожидание и дисперсию.
Разбираем формулу
Вероятность ровно m успехов вычисляется так:
$$P(X = m) = \binom{\text{Trials }n}{\text{Successes }m} \, p^{\,m} \left(1-p\right)^{n-m}$$где \(C(n, m) = n! / (m! (n - m)!)\) — биномиальный коэффициент («число сочетаний из n по m»). Математическое ожидание равно \(\mu = n\cdot p\), а дисперсия — \(\sigma^{2} = n\cdot p\cdot(1 - p)\). При больших n калькулятор ведёт вычисления в логарифмическом масштабе с помощью логарифма гамма-функции, чтобы избежать переполнения при расчёте факториалов.
Пример расчёта
Бросаем кубик \(n = 10\) раз. Какова вероятность, что выбранная грань выпадет ровно \(m = 2\) раза? Здесь \(p = 1/6\). \(C(10, 2) = 45\), \(p^{2} = 1/36 \approx 0{,}027778\), а \((5/6)^{8} \approx 0{,}232557\). Тогда
$$P(X = 2) = 45 \times 0{,}027778 \times 0{,}232557 \approx 0{,}29071$$то есть около 29,07%. Математическое ожидание равно \(10/6 \approx 1{,}667\), а дисперсия — \(10 \times (1/6) \times (5/6) \approx 1{,}389\).
Частые вопросы
p — это проценты? Нет. p — это вероятность от 0 до 1. Для грани кубика используйте 1/6 или примерно 0,1667, но не 16,67.
Как посчитать «хотя бы один раз»? Воспользуйтесь формулой \(P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0)\). Например, для 3 бросков и конкретной грани: \(1 - (5/6)^{3} = 1 - 0{,}578704 \approx 0{,}4213\), то есть около 42,13%.
Почему вероятности в таблице в сумме дают 1? В каждой серии испытаний обязательно выпадет какое-то число успехов от 0 до n, поэтому вероятности всех взаимоисключающих исходов в сумме дают ровно 1 — удобный способ проверить расчёт.
