この計算ツールでできること
これは二項分布にもとづく純粋な確率計算ツールです。各試行で確率pで成功する独立な試行をn回くり返したとき、特定の結果がちょうどm回起こる確率を求めます。代表的な例が、ゆがみのない6面サイコロを振るケースです。1回振るたびに、選んだ目が出る確率は\(p = 1/6\)になります。とはいえこの計算は普遍的で、0から1までのどんな成功確率にも使えます（コイン投げ、フリースローの成功、不良率など、応用範囲は広がります）。
使い方
試行回数 n（1〜500）、1回あたりの成功確率 p、そして目標の成功回数 mを入力してください。pは0.1667のような小数でも、1/6のような分数でも入力でき、分数は自動的に小数に換算されます。注意したいのは、pは0〜1の範囲の確率であって、パーセントではないという点です。16.67ではなく1/6と入力してください。結果には、\(P(X = m)\)に加えて、mが0からnまでのすべての場合の\(P(X = m)\)、累積確率\(P(X \le m)\)と\(P(X \ge m)\)、平均、分散をまとめた表が表示されます。
計算式の解説
ちょうどm回成功する確率は $$P(X = m) = \binom{\text{Trials }n}{\text{Successes }m} \, p^{\,m} \left(1-p\right)^{n-m}$$ で表されます。ここで \(C(n, m) = n! / (m! (n - m)!)\) は二項係数（「nからmを選ぶ組み合わせ」）です。平均は \(\mu = n\cdot p\)、分散は \(\sigma^{2} = n\cdot p\cdot(1 - p)\) となります。nが大きい場合、計算ツールは階乗のオーバーフローを避けるために、対数ガンマ関数を用いて対数空間で計算します。
計算例
サイコロを \(n = 10\)回振ったとき、選んだ目がちょうど \(m = 2\)回出る確率はどれくらいでしょうか。ここで \(p = 1/6\) です。\(C(10, 2) = 45\)、\(p^{2} = 1/36 \approx 0.027778\)、そして \((5/6)^{8} \approx 0.232557\) となります。よって $$P(X = 2) = 45 \times 0.027778 \times 0.232557 \approx 0.29071$$ つまり約29.07%です。平均は \(10/6 \approx 1.667\)、分散は \(10 \times (1/6) \times (5/6) \approx 1.389\) になります。
よくある質問
pはパーセントですか？ いいえ。pは0〜1の確率です。サイコロの目なら16.67ではなく、1/6または約0.1667を使ってください。
「少なくとも1回」はどう計算しますか？ \(P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0)\) を使います。サイコロ3個で特定の目が出る確率なら、\(1 - (5/6)^{3} = 1 - 0.578704 \approx 0.4213\)、つまり約42.13%です。
表の確率を合計するとなぜ1になるのですか？ どの試行でも成功回数は0からnのいずれかになるため、互いに排反なすべての結果の確率を足すとちょうど1になります。計算が正しいかを確かめる目安として便利です。
