À quoi sert ce calculateur
Voici un outil de probabilité purement mathématique fondé sur la loi binomiale. Il vous indique la probabilité qu'un résultat précis se produise exactement m fois au cours de n essais indépendants, chaque essai étant un succès avec une probabilité p. L'exemple classique : lancer un dé équilibré à six faces, où une face choisie sort avec une probabilité \(p = 1/6\) à chaque lancer. Mais le calcul est universel : n'importe quelle probabilité de succès par essai comprise entre 0 et 1 fonctionne (lancers de pièce, paniers réussis au basket, taux de défauts, et bien d'autres).
Comment l'utiliser
Indiquez le nombre d'essais n (de 1 à 500), la probabilité par essai p et un nombre de succès visé m. Vous pouvez saisir p sous forme décimale, par exemple 0,1667, ou sous forme de fraction, par exemple 1/6 ; le calculateur convertit automatiquement la fraction en décimale. Attention : p est une probabilité comprise entre 0 et 1, et non un pourcentage — saisissez donc 1/6, pas 16,67. Le résultat affiche P(X = m), ainsi qu'un tableau complet de P(X = m) pour chaque m de 0 à n, les valeurs cumulées P(X ≤ m) et P(X ≥ m), la moyenne et la variance.
La formule expliquée
La probabilité d'obtenir exactement m succès est $$P(X = m) = \binom{\text{Trials }n}{\text{Successes }m} \, p^{\,m} \left(1-p\right)^{n-m},$$ où \(C(n, m) = n! / (m! (n - m)!)\) est le coefficient binomial (« combinaison de m parmi n »). La moyenne vaut \(\mu = n\cdot p\) et la variance \(\sigma^{2} = n\cdot p\cdot(1 - p)\). Pour les grandes valeurs de n, le calculateur travaille en échelle logarithmique grâce à la fonction log-gamma, afin d'éviter le dépassement de capacité dû aux factorielles.
Exemple détaillé
On lance un dé \(n = 10\) fois : quelle est la probabilité qu'une face choisie sorte exactement \(m = 2\) fois ? Ici, \(p = 1/6\). On a \(C(10, 2) = 45\), \(p^{2} = 1/36 \approx 0{,}027778\) et \((5/6)^8 \approx 0{,}232557\). Donc $$P(X = 2) = 45 \times 0{,}027778 \times 0{,}232557 \approx 0{,}29071,$$ soit environ 29,07 %. La moyenne vaut \(10/6 \approx 1{,}667\) et la variance \(10 \times (1/6) \times (5/6) \approx 1{,}389\).
FAQ
p est-il un pourcentage ? Non. p est une probabilité comprise entre 0 et 1. Pour une face de dé, utilisez 1/6 ou environ 0,1667, et non 16,67.
Comment obtenir « au moins une fois » ? Utilisez \(P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0)\). Pour 3 dés et une face précise : \(1 - (5/6)^{3} = 1 - 0{,}578704 \approx 0{,}4213\), soit environ 42,13 %.
Pourquoi la somme des probabilités du tableau vaut-elle 1 ? Chaque série d'essais produit forcément un nombre de succès compris entre 0 et n ; la somme des probabilités de tous ces résultats mutuellement exclusifs est donc exactement égale à 1 — une vérification bien pratique.
