Bu hesaplayıcı ne işe yarar?
Bu araç tamamen binom dağılımına dayalı bir olasılık hesaplayıcısıdır. Her birinde başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede, belirli bir sonucun tam olarak m kez gerçekleşme ihtimalini gösterir. Klasik örnek hilesiz altı yüzlü bir zar atmaktır: seçtiğiniz tek bir yüz, her atışta \(p = 1/6\) olasılıkla gelir. Ancak buradaki matematik evrenseldir; her denemenin başarı olasılığı 0 ile 1 arasında olduğu sürece her senaryoya uyar (yazı tura, basket serbest atışı, kusur oranları ve daha fazlası).
Nasıl kullanılır?
Deneme sayısı n (1 ile 500 arası), her denemedeki olasılık p ve hedef başarı sayısı m değerlerini girin. p değerini 0.1667 gibi bir ondalık sayı ya da 1/6 gibi bir kesir olarak yazabilirsiniz; hesaplayıcı kesri otomatik olarak ondalığa çevirir. Burada önemli bir nokta var: p, 0 ile 1 arasında bir olasılıktır, yüzde değildir — yani 16,67 değil, 1/6 yazın. Sonuç ekranında \(P(X = m)\) değerinin yanı sıra; 0'dan n'e kadar her m için \(P(X = m)\) içeren tam bir tablo, kümülatif \(P(X \le m)\) ve \(P(X \ge m)\) değerleri, ortalama ve varyans yer alır.
Formülün açıklaması
Tam olarak m başarı elde etme olasılığı şöyledir:
$$P(X = m) = \binom{\text{Trials }n}{\text{Successes }m} \, p^{\,m} \left(1-p\right)^{n-m}$$Burada \(C(n, m) = \dfrac{n!}{m!\,(n - m)!}\) ifadesi binom katsayısıdır ("n'den m'li kombinasyon"). Ortalama \(\mu = n\cdot p\), varyans ise \(\sigma^{2} = n\cdot p\cdot(1 - p)\) şeklinde bulunur. n çok büyük olduğunda hesaplayıcı, faktöriyel taşmasını önlemek için log-gamma fonksiyonunu kullanarak logaritmik uzayda çalışır.
Çözümlü örnek
Bir zarı \(n = 10\) kez atalım; seçtiğimiz bir yüzün tam olarak \(m = 2\) kez gelme olasılığı nedir? Burada \(p = 1/6\)'dır. \(C(10, 2) = 45\), \(p^{2} = 1/36 \approx 0{,}027778\) ve \((5/6)^{8} \approx 0{,}232557\). Buradan
$$P(X = 2) = 45 \times 0{,}027778 \times 0{,}232557 \approx 0{,}29071$$yani yaklaşık %29,07 bulunur. Ortalama \(10/6 \approx 1{,}667\), varyans ise \(10 \times (1/6) \times (5/6) \approx 1{,}389\) olur.
Sıkça sorulan sorular
p bir yüzde mi? Hayır. p, 0 ile 1 arasında bir olasılıktır. Bir zar yüzü için 16,67 değil, 1/6 ya da yaklaşık 0,1667 kullanın.
"En az bir kez" olasılığını nasıl bulurum? \(P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0)\) formülünü kullanın. 3 zar ve belirli bir yüz için: \(1 - (5/6)^{3} = 1 - 0{,}578704 \approx 0{,}4213\), yani yaklaşık %42,13.
Tablodaki olasılıklar neden toplamda 1 ediyor? Her deneme 0 ile n arasında bir başarı sayısı üretmek zorundadır; dolayısıyla birbirini dışlayan tüm sonuçların olasılıkları tam olarak 1'e eşittir — bu da hesabınızı kontrol etmek için pratik bir yöntemdir.
