यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह एक शुद्ध गणितीय प्रायिकता टूल है, जो द्विपद वितरण (binomial distribution) पर आधारित है। यह बताता है कि किसी खास परिणाम के आने की कितनी संभावना है — यानी n स्वतंत्र प्रयासों में वह ठीक m बार घटित होगा, जबकि हर प्रयास में सफलता की प्रायिकता p हो। इसका सबसे जाना-पहचाना उदाहरण है एक निष्पक्ष छह-फलक वाला पासा फेंकना: किसी एक चुने हुए फलक के आने की प्रायिकता हर बार \(p = 1/6\) होती है। लेकिन यह गणित सार्वभौमिक है — 0 और 1 के बीच की कोई भी प्रति-प्रयास सफलता प्रायिकता यहाँ काम करती है (सिक्का उछालना, फ्री-थ्रो लगाना, उत्पादन में दोष की दर, और बहुत कुछ)।
इसका उपयोग कैसे करें
प्रयासों की संख्या n (1 से 500 तक), प्रति प्रयास प्रायिकता p, और लक्षित सफलताओं की संख्या m दर्ज करें। आप p को दशमलव के रूप में जैसे 0.1667 लिख सकते हैं या भिन्न के रूप में जैसे 1/6; कैलकुलेटर इस भिन्न को अपने-आप दशमलव में बदल देता है। ध्यान दें — p एक प्रायिकता है जो 0 से 1 की सीमा में होती है, यह प्रतिशत नहीं है — 1/6 लिखें, 16.67 नहीं। परिणाम में \(P(X = m)\) के साथ-साथ 0 से n तक हर m के लिए \(P(X = m)\) की पूरी तालिका, संचयी \(P(X \le m)\) और \(P(X \ge m)\), माध्य (mean), और प्रसरण (variance) दिखाए जाते हैं।
सूत्र की व्याख्या
ठीक m सफलताओं की प्रायिकता है $$P(X = m) = \binom{n}{m} \, p^{m} \left(1-p\right)^{n-m}$$ जहाँ \(C(n, m) = \dfrac{n!}{m!\,(n - m)!}\) द्विपद गुणांक है (इसे "n में से m चुनना" कहते हैं)। माध्य है \(\mu = n\cdot p\) और प्रसरण है \(\sigma^{2} = n\cdot p\cdot(1 - p)\)। बड़े n के लिए कैलकुलेटर लॉग-गामा फ़ंक्शन का उपयोग करते हुए लॉग-स्पेस में काम करता है, ताकि फैक्टोरियल के बहुत बड़े मानों (overflow) से बचा जा सके।
हल किया हुआ उदाहरण
एक पासा n = 10 बार फेंकें; किसी चुने हुए फलक के ठीक m = 2 बार आने की संभावना क्या है? यहाँ \(p = 1/6\) है। \(C(10, 2) = 45\), \(p^{2} = 1/36 \approx 0.027778\), और \((5/6)^{8} \approx 0.232557\)। तो $$P(X = 2) = 45 \times 0.027778 \times 0.232557 \approx 0.29071,$$ यानी लगभग 29.07%। माध्य है \(10/6 \approx 1.667\) और प्रसरण है \(10 \times (1/6) \times (5/6) \approx 1.389\)।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
क्या p एक प्रतिशत है? नहीं। p एक प्रायिकता है जो 0 और 1 के बीच होती है। पासे के किसी फलक के लिए 1/6 या लगभग 0.1667 का उपयोग करें, 16.67 का नहीं।
"कम से कम एक बार" की प्रायिकता कैसे निकालें? \(P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0)\) का उपयोग करें। 3 पासों और किसी एक खास फलक के लिए: \(1 - (5/6)^{3} = 1 - 0.578704 \approx 0.4213\), यानी लगभग 42.13%।
तालिका की सभी प्रायिकताओं का योग 1 क्यों होता है? हर प्रयास में सफलताओं की संख्या 0 से n के बीच कोई न कोई मान अवश्य होगी, इसलिए सभी परस्पर-अपवर्जी (mutually exclusive) परिणामों की प्रायिकताओं का योग ठीक 1 होता है — यह एक आसान जाँच का तरीका भी है।
