6-पक्षीय पासे की प्रायिकता कैलकुलेटर (d6)

अनुकूल परिणाम	6
कुल परिणाम (6^n)	36
प्रायिकता (दशमलव)	0.166667
विरुद्ध ऑड्स	6 to 1

6-पक्षीय पासे की प्रायिकता कैलकुलेटर क्या है?

यह टूल बताता है कि जब आप एक या अधिक मानक छह-पक्षीय पासे (d6) फेंकते हैं, तो किसी खास कुल योग के आने की सटीक प्रायिकता क्या होगी। यह उन सभी संयोजनों (combinations) को गिनता है जिनसे आपका लक्ष्य योग बनता है और उसे कुल संभव परिणामों से भाग देता है। नतीजा आपको तीन रूपों में मिलता है — प्रतिशत के रूप में संभावना, दशमलव प्रायिकता और विरुद्ध ऑड्स (odds against)।

इसका उपयोग कैसे करें

सबसे पहले पासों की संख्या दर्ज करें जो आप फेंक रहे हैं, और फिर वह लक्ष्य योग लिखें जिसकी संभावना आप जाँचना चाहते हैं। कैलकुलेट दबाते ही आपको अनुकूल परिणाम, कुल परिणाम (6 की घात पासों की संख्या के बराबर) और उससे बनने वाली प्रायिकता दिख जाएगी। उदाहरण के लिए, 2 पासों के साथ संभव योग 2 से 12 तक होते हैं, और इनमें सबसे ज़्यादा संभावना 7 के आने की रहती है।

सूत्र की व्याख्या

n पासों के लिए कुल समान-संभावना वाले परिणामों की संख्या $6^{n}$ होती है। कैलकुलेटर एक कनवॉल्यूशन (डायनैमिक प्रोग्रामिंग) विधि का उपयोग करके गिनता है कि इनमें से कितने परिणामों का योग आपके लक्ष्य के बराबर होता है — इन्हें ही अनुकूल परिणाम कहते हैं। इसके बाद प्रायिकता इस तरह निकलती है:

$$P(\text{योग}) = \dfrac{\text{अनुकूल परिणाम}}{6^{n}}$$

एक ही पासे के लिए हर पक्ष की संभावना समान होती है, इसलिए किसी भी एक पक्ष के आने की प्रायिकता $\frac{1}{6} \approx 16.67\%$ होती है।

दो छह-फलक वाले पासे फेंकने पर योगफल की प्रायिकता का घंटी के आकार का बार चार्ट — दो पासों के योग का प्रायिकता वितरण 7 पर सर्वोच्च होता है।

हल किया गया उदाहरण

मान लीजिए आप 2 पासे फेंकते हैं और 7 का योग चाहते हैं। इसके संयोजन हैं — (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) — यानी कुल 6 अनुकूल परिणाम। कुल परिणाम $= 6^{2} = 36$। इसलिए $$P = 6 \div 36 = 0.1667 = 16.67\%$$ और विरुद्ध ऑड्स 5 से 1 रहते हैं।

दो पासों के सभी 36 परिणामों का ग्रिड, जिसमें सात योग वाले विकर्ण उभरे हुए हैं — 6x6 ग्रिड सभी 36 परिणाम दिखाता है; इनमें से छह का योग 7 होता है।

मुख्य शब्द

अनुकूल परिणाम: अलग-अलग क्रमबद्ध पासे के संयोजनों की संख्या जो लक्ष्य राशि का उत्पादन करते हैं। दो पासों के लिए, 5 का योग 4 अनुकूल परिणाम देता है: (1,4), (2,3), (3,2) और (4,1)। यह संभाव्यता सूत्र में अंश $N(\text{पासे},\,\text{लक्ष्य})$ है।
कुल परिणाम (नमूना स्थान): पासों को रोल करने के हर समान रूप से संभावित परिणाम। $d$ पासों के साथ जिनमें प्रत्येक के 6 फलक हैं, नमूना स्थान में $6^{d}$ परिणाम हैं — दो पासों के लिए 36, तीन के लिए 216। यह संभाव्यता का हर है।
संभाव्यता: संभावना कि लक्ष्य राशि घटित हो, जिसे अनुकूल परिणामों को कुल परिणामों से विभाजित किया जाता है: $P = N / 6^{d}$। यह 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) तक होता है और अक्सर प्रतिशत के रूप में दिखाया जाता है।
प्रतिकूल संभावना: प्रतिकूल परिणामों और अनुकूल परिणामों का अनुपात। दो पासों के साथ 7 के योग के लिए, प्रतिकूल संभावना $(36-6):6 = 30:6 = 5:1$ है, जिसका अर्थ है कि हर 7 के लिए पाँच गैर-7 परिणाम अपेक्षित हैं।
संवलन / वितरण: सभी संभावित राशियों में संभाव्यता का पूरा समूह। एक पासा जोड़ना एकल-पासा वितरण को चलने वाले कुल के साथ संवलित करता है (ओवरलैप करता है और जोड़ता है), जिसके कारण दो-पासा वितरण 7 पर शीर्ष के साथ एक त्रिकोणीय आकार बनाता है।
लक्ष्य राशि: विशिष्ट कुल जिसका आप मूल्यांकन करना चाहते हैं, लक्ष्य क्षेत्र के रूप में दर्ज किया गया। यह न्यूनतम (पासों की संख्या × 1) और अधिकतम (पासों की संख्या × 6) के बीच होना चाहिए; उस श्रेणी के बाहर की राशियों के अनुकूल परिणाम शून्य हैं।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

दो पासों के साथ 7 सबसे आम योग क्यों है? क्योंकि किसी भी दूसरे कुल योग की तुलना में 7 बनाने वाले संयोजन सबसे ज़्यादा (छह) हैं, इसलिए यह घंटी के आकार वाले वितरण (bell curve) का सबसे ऊँचा बिंदु बन जाता है।

क्या इसे दो से ज़्यादा पासों के लिए इस्तेमाल कर सकते हैं? हाँ। यह कैलकुलेटर 20 पासों तक काम करता है और सभी संयोजनों को बिल्कुल सटीक रूप से गिनता है।

"विरुद्ध ऑड्स" का क्या मतलब है? यह प्रतिकूल और अनुकूल परिणामों की तुलना करता है। 5 से 1 ऑड्स का मतलब है कि हर 1 सफलता के बदले 5 असफलता के रास्ते हैं।