この計算ツールでできること
このツールは、ポアソン分布のパーセント点を求めます。平均（λ）と目標とする累積確率を入力すると、その確率に対応する整数の事象回数xを返します。ポアソン分布の累積分布関数（CDF）の逆計算にあたり、「下側累積確率P」と「上側累積確率Q」の2つのモードに対応しています。
使い方
まず累積確率のモードを選びます。下側累積確率Pモードでは、目標とする下側確率Pを入力すると、\(P(x, \lambda) \ge P\) を満たす最小の整数xを返します。上側累積確率Qモードでは、上側確率Qを入力すると、\(Q(x, \lambda) \ge Q\) を満たす最大のxを返します。なお当サイトでは、xを含める定義 \(Q(x) = 1 - P(x-1)\) を採用しています。続いて平均λ（事象の期待回数）を入力します。すべての入力値は無次元です。
計算式の解説
確率質量関数は $$f(t, \lambda) = e^{-\lambda} \cdot \frac{\lambda^{t}}{t!}$$ で表されます。計算の安定性を高めるため、各項は反復的に求めます。\(\text{term}(0) = e^{-\lambda}\)、\(\text{term}(t) = \text{term}(t-1) \cdot \frac{\lambda}{t}\) とすることで、\(\lambda^{t}\) や \(t!\) による桁あふれ（オーバーフロー）を回避します。下側累積確率はこれらの項を順に足し合わせた値であり、上側累積確率は1から添字を1つずらした下側累積確率を引いた値になります。 $$x^{*} = \min\left\{\, x \in \mathbb{Z}_{\ge 0} : \sum_{k=0}^{x} \frac{e^{-\lambda}\,\lambda^{k}}{k!} \ge \text{p} \,\right\}, \quad \lambda = \text{Mean } \lambda$$ $$x^{*} = \max\left\{\, x \in \mathbb{Z}_{\ge 0} : 1 - \sum_{k=0}^{x-1} \frac{e^{-\lambda}\,\lambda^{k}}{k!} \ge \text{p} \,\right\}, \quad \lambda = \text{Mean } \lambda$$
計算例
下側モードで \(P = 0.3\)、\(\lambda = 5\) の場合、累積確率は順に \(P(0)=0.0067\)、\(P(1)=0.0404\)、\(P(2)=0.1247\)、\(P(3)=0.2650\)、\(P(4)=0.4405\) となります。初めて0.3に達するのは \(x = 4\) です。上側モードで \(Q = 0.3\)、\(\lambda = 5\) の場合、\(Q(6)=0.384\)、\(Q(7)=0.238\) となるため、\(Q \ge 0.3\) を満たす最大のxは \(x = 6\) です。
よくある質問（FAQ）
なぜ上側モードでは合計にxを含めるのですか？ 当サイトでは \(Q(x)\) を \(t = x\) から無限大までの総和、すなわち \(Q(x) = 1 - P(x-1)\) と定義しています。これは一般的な \(P(X > x)\) の定義とは異なる点にご注意ください。
λ = 0 のときはどうなりますか？ 確率はすべて \(t = 0\) に集中します。したがって下側のパーセント点は0となり、\(x \ge 1\) では \(Q(x)=0\) になります。
0から1の範囲外の確率を入力するとどうなりますか？ 無効な値として警告が表示されます。確率は \(0 \le P, Q \le 1\) を、また \(\lambda \ge 0\) を満たす必要があります。
