この計算ツールでできること
このツールは、正規分布のパーセント点（分位点・臨界値とも呼ばれます）を求めます。累積確率を入力すると、指定した確率がその下側（または上側）に収まるような、分布上の値xを返します。これは正規分布の累積分布関数（CDF）の逆関数にあたります。平均0・標準偏差1とすれば、おなじみの標準正規分布のz値が得られます。純粋な数学なので、どの国でも同じように使えます。
使い方
まず累積モードを選びます。確率が左側の面積 \(P(X \le x)\) を表す場合は下側累積Pを、右側の面積 \(P(X > x)\) を表す場合は上側累積Qを選択してください。確率は0より大きく1より小さい値を入力します。続いて分布の平均と標準偏差を入力します（標準正規分布なら0と1）。計算結果として、パーセント点xと、その標準化したz値が表示されます。
計算式の解説
標準正規分布のCDFを\(\Phi\)とします。まず入力値を下側確率に変換します。下側モードなら \(p_{lower} = P\)、上側モードなら \(p_{lower} = 1 - Q\) です。次に逆正規CDF（プロビット）を求めます：\(z = \Phi^{-1}(p_{lower})\)。最後に標準化を解いて元のスケールに戻します：$$x = \mu + \sigma \cdot z$$本ツールでは、Acklamの有理関数近似にニュートン法を1ステップ加えることで、およそ1e-9の精度を実現しています。
計算例
上側モード、\(Q = 0.025\)、\(\mu = 100\)、\(\sigma = 15\) の場合。変換すると \(p_{lower} = 1 - 0.025 = 0.975\)。分位点は \(z = \Phi^{-1}(0.975) \approx 1.959964\)。標準化を戻すと $$x = 100 + 15 \times 1.959964 \approx 129.40$$つまり、この分布の約2.5%が129.4より上側に位置することになります。
よくある質問
なぜzとxが同じ値になることがあるのですか？ 標準正規分布の場合（\(\mu = 0\)、\(\sigma = 1\)）のみ、\(x = z\) となります。
p = 0.5 のときはどうなりますか？ 下側モードでは \(z = 0\) となるため、分位点はちょうど平均値に一致します。
0や1を入力できますか？ できません。分位点は0で\(-\infty\)、1で\(+\infty\)に発散するため、確率は0より大きく1より小さい値でなければならず、\(\sigma\)は0より大きい必要があります。
