Qué hace esta calculadora
Esta herramienta calcula el percentil (también llamado cuantil o valor crítico) de una distribución normal. Tú introduces una probabilidad acumulada y ella te devuelve el valor x sobre el eje de la distribución tal que la cantidad de probabilidad solicitada queda por debajo (o por encima) de él. Es la función inversa de la función de distribución acumulada (CDF) normal. Con media 0 y desviación típica 1 devuelve el conocido valor z de la normal estándar. Se trata de matemática pura y universal, así que funciona igual en cualquier lugar.
Cómo usarla
Elige un modo acumulado. Selecciona P acumulada inferior cuando tu probabilidad sea el área de la cola izquierda P(X ≤ x), o Q acumulada superior cuando sea el área de la cola derecha P(X > x). Introduce la probabilidad con un valor estrictamente entre 0 y 1. Después indica la media y la desviación típica de la distribución (usa 0 y 1 para la normal estándar). El resultado muestra el percentil x y su puntuación z estandarizada.
La fórmula explicada
Sea \(\Phi\) la CDF de la normal estándar. Primero convierte tu dato en una probabilidad de cola izquierda: \(p_{\text{inferior}} = P\) en el modo inferior, o \(p_{\text{inferior}} = 1 - Q\) en el modo superior. A continuación aplica la CDF normal inversa (probit): \(z = \Phi^{-1}\!\left(p_{\text{inferior}}\right)\). Por último, deshaz la estandarización:
$$x = \mu + \sigma \cdot z$$Empleamos la aproximación racional de Acklam, refinada con un paso de Newton, para alcanzar una precisión de aproximadamente 1e-9.
Ejemplo resuelto
Modo superior, \(Q = 0{,}025\), \(\mu = 100\), \(\sigma = 15\). Convertimos: \(p_{\text{inferior}} = 1 - 0{,}025 = 0{,}975\). Cuantil: \(z = \Phi^{-1}\!\left(0{,}975\right) \approx 1{,}959964\). Deshacemos la estandarización:
$$x = 100 + 15 \times 1{,}959964 \approx 129{,}40$$Por tanto, alrededor del 2,5 % de la distribución queda por encima de 129,4.
Preguntas frecuentes
¿Por qué a veces z es igual a x? Solo en el caso de la normal estándar (\(\mu = 0\), \(\sigma = 1\)), donde \(x = z\).
¿Qué ocurre con p = 0,5? En el modo inferior el cuantil coincide exactamente con la media, ya que \(z = 0\).
¿Puedo introducir 0 o 1? No. El cuantil tiende a \(-\infty\) en 0 y a \(+\infty\) en 1, así que la probabilidad debe estar estrictamente entre 0 y 1, y \(\sigma\) debe ser mayor que 0.
