ロジスティック分布とは
ロジスティック分布は、正規分布によく似た形をもちながら、より裾の重い（厚い）連続型確率分布です。位置母数 a（平均かつ中央値と一致します）と、尺度母数 b > 0 によって定義されます。その累積分布関数はおなじみのロジスティック・シグモイド曲線になり、これがロジスティック回帰や成長モデル、機械学習のあらゆる場面でこの分布が登場する理由です。本計算機は純粋な数学計算であり、国や地域による前提の違いは一切なく、どこで使っても同じ結果が得られます。
この計算機の使い方
まず計算する関数を選びます。確率密度 f、下側累積確率 P（分布関数）、上側累積確率 Q（生存関数）のいずれかです。次に位置母数 a と尺度母数 b を入力します。続いて x のグリッドを指定します。x の初期値、刻み幅、点の個数です。本ツールは \(x_i = \text{startX} + i\cdot\text{stepX}\)（\(i = 0\) 〜 \(\text{points}-1\)）を生成し、各点で選択した関数を評価して、最初の x における代表値を表示し、数列を一覧化したうえで折れ線グラフを描画します。
計算式の解説
標準化変数を \(z = (x - a)/b\)、\(E = e^{-z}\) と定義します。確率密度は $$f = \frac{1}{b}\cdot\frac{E}{(1+E)^{2}}$$ です。シグモイド関数を \(\sigma = 1/(1+E)\) と書くと、これは \(\sigma(1-\sigma)/b\) に等しくなります。下側累積確率（分布関数）は単純に $$P = \sigma = \frac{1}{1+e^{-z}}$$ で、0 から 1 へ単調増加します。上側累積確率（生存関数）は \(Q = 1 - P\) です。オーバーフローを避けるため、シグモイドは \(z \geq 0\) のとき \(1/(1+e^{-z})\)、\(z < 0\) のとき \(e^z/(1+e^z)\) として計算します。
計算例
\(a = 0\)、\(b = 0.7\) として、\(x = 0.7\) で評価してみます。このとき \(z = 1\)、\(E = e^{-1} = 0.367879\) となります。確率密度は $$f = \frac{1}{0.7}\cdot\frac{0.367879}{(1.367879)^{2}} \approx 0.28087$$ 下側累積確率は \(P = 1/1.367879 \approx 0.73106\)。上側累積確率は \(Q = 1 - 0.73106 \approx 0.26894\) です。中央値 \(x = a = 0\) では、密度がピーク値 \(1/(4b) = 0.35714\) に達し、\(P = Q = 0.5\) となります。
よくある質問
b が 0 や負の値だとどうなりますか？ その場合、分布は定義されません。本計算機は \(b > 0\) を要求しており、それ以外ではエラーを返します。
平均と分散はどうなりますか？ 平均（および中央値）は a に等しく、分散は \((\pi^{2}/3)\cdot b^{2}\) です。
降順のグリッドも使えますか？ はい。刻み幅を負の値にすれば x は減少していきます。また刻み幅を 0 にすると、すべての点を初期値の x で評価します。
