什么是逻辑斯蒂分布？
逻辑斯蒂分布（Logistic distribution）是一种连续型概率分布，形状与正态分布相似，但尾部更厚。它由位置参数 a（同时等于其均值与中位数）和尺度参数 b > 0 共同确定。它的累积分布函数正是我们熟悉的 logistic（S 形）函数，因此该分布在逻辑回归、增长模型和机器学习中随处可见。本计算器只涉及纯数学计算，在任何地区都完全一致，不包含任何与特定国家相关的假设。
如何使用本计算器
首先选择要计算的函数：概率密度 f、下侧累积概率 P（即 CDF）或上侧累积概率 Q（即生存函数）。然后输入位置参数 a 和尺度参数 b。接着设定 x 的取值网格：起始 x、步长以及点数。计算器会按 \(x_i = \text{startX} + i\cdot\text{stepX}\)（\(i = 0..\text{points}-1\)）生成各个 x 值，在每个点上计算所选函数，给出第一个 x 处的主要结果，列出整列数值，并绘制折线图。
公式详解
令标准化变量 \(z = (x - a)/b\)，并记 \(E = e^{-z}\)。密度函数为 $$f = \frac{1}{b}\cdot\frac{E}{(1+E)^{2}}$$ 若记 S 形函数 \(\sigma = 1/(1+E)\)，则该式等于 \(\sigma(1-\sigma)/b\)。下侧 CDF 即 $$P = \sigma = \frac{1}{1+e^{-z}}$$ 从 0 到 1 单调递增；上侧（生存）函数为 \(Q = 1 - P\)。为避免数值溢出，当 \(z \geq 0\) 时按 \(1/(1+e^{-z})\) 计算 S 形函数，当 \(z < 0\) 时按 \(e^{z}/(1+e^{z})\) 计算。
计算实例
取 \(a = 0\)、\(b = 0.7\)，在 \(x = 0.7\) 处求值。此时 \(z = 1\)，\(E = e^{-1} = 0.367879\)。密度 $$f = \frac{1}{0.7}\cdot\frac{0.367879}{(1.367879)^{2}} \approx 0.28087$$ 下侧 CDF：$$P = \frac{1}{1.367879} \approx 0.73106$$ 上侧 CDF：$$Q = 1 - 0.73106 \approx 0.26894$$ 在中位数 \(x = a = 0\) 处，密度达到峰值 \(1/(4b) = 0.35714\)，且 \(P = Q = 0.5\)。
常见问题
如果 b 为零或负数会怎样？此时分布没有定义；计算器要求 \(b > 0\)，否则会返回错误提示。
均值和方差分别是多少？均值（也是中位数）等于 \(a\)，方差为 \((\pi^{2}/3)\cdot b^{2}\)。
可以使用递减的网格吗？可以——步长取负值会让 x 逐点递减，而步长取 0 则会在起始 x 处重复求值每个点。
