什么是卡方分布？
卡方（χ²）分布描述的是若干个相互独立的标准正态随机变量平方之和的分布。它只有一个参数——自由度 \(\nu\)（希腊字母「nu」），在假设检验、拟合优度检验、列联表分析以及方差的置信区间估计中都有着核心作用。本计算器会针对你设定的自由度 \(\nu\)，计算给定 \(x\) 处的三个相关函数：概率密度 \(f\)、下侧累积概率 \(P(X \le x)\) 以及上侧累积概率 \(Q(X > x)\)。
使用方法
先选择你希望作为主结果显示的函数，再输入自由度 \(\nu\)（任意大于 0 的数值）以及要计算的取值点 \(x\)。其中「x 的初始值」「步长」和「点数」三项会定义一个序列 $$x_k = \text{startX} + k \cdot \text{stepX},$$ 用来生成所选函数的数据表或图像。所有输入均为无量纲量，无需进行单位换算。
公式解析
当 \(x \ge 0\) 时，概率密度为 $$f(\text{x};\,\nu) = \frac{\text{x}^{\,\frac{\nu}{2}-1}\,e^{-\frac{\text{x}}{2}}}{2^{\frac{\nu}{2}}\,\Gamma\!\left(\frac{\nu}{2}\right)}.$$ 累积概率则借助正则化不完全伽马函数：$$F(\text{x};\,\nu) = P\!\left(\frac{\nu}{2},\,\frac{\text{x}}{2}\right) = \frac{\gamma\!\left(\frac{\nu}{2},\,\frac{\text{x}}{2}\right)}{\Gamma\!\left(\frac{\nu}{2}\right)},$$ 即 \((\nu/2,\,x/2)\) 的下侧不完全伽马函数除以 \(\Gamma(\nu/2)\)，而 $$Q(\text{x};\,\nu) = 1 - P\!\left(\frac{\nu}{2},\,\frac{\text{x}}{2}\right) = \frac{\Gamma\!\left(\frac{\nu}{2},\,\frac{\text{x}}{2}\right)}{\Gamma\!\left(\frac{\nu}{2}\right)}.$$ 我们在对数空间中进行全部运算，并对不完全伽马函数采用级数展开或连分数（Lentz 算法）求值，结果精确且能避免数值溢出。
计算实例
设 \(\nu = 3\)、\(x = 2\)：则 \(a = \nu/2 = 1.5\)，\(z = x/2 = 1\)。下侧累积概率 \(P(2, 3)\) 约为 \(0.42759\)，因此 \(Q\) 约为 \(0.57241\)。概率密度的计算结果为 $$f(2, 3) = \frac{2^{0.5} \cdot e^{-1}}{2^{1.5} \cdot \Gamma(1.5)} \approx 0.20755.$$
常见问题
为什么自由度较小时，f 在 x = 0 处会趋于无穷大？ 当 \(\nu < 2\) 时，密度在 \(x = 0\) 处发散至无穷大；当 \(\nu = 2\) 时其值为 \(0.5\)；当 \(\nu > 2\) 时则为 \(0\)。
如何查找临界值？ 把函数设为下侧累积概率 \(P\)，然后不断尝试 \(x\) 的取值，直到 \(P\) 达到你的目标值（例如当 \(\nu = 1\) 且 \(P = 0.95\) 时，\(x \approx 3.8415\)）。
累积概率的结果精确吗？ 精确。它使用闭式的不完全伽马函数，而非数值积分，因此结果可达到机器精度。
