카이제곱 분포란?
카이제곱(χ²) 분포는 서로 독립인 표준정규분포 변수들을 제곱하여 모두 더했을 때 나타나는 분포입니다. 자유도 \(\nu\)(그리스 문자 '뉴')라는 하나의 모수로만 결정되며, 가설 검정, 적합도 검정, 분할표(교차표) 분석, 분산의 신뢰구간 등 통계학 전반의 핵심 도구로 쓰입니다. 이 계산기는 선택한 자유도 \(\nu\)에서 \(x\)에 대한 세 가지 함수를 계산합니다. 즉 확률밀도 \(f\), 하측 누적확률 \(P(X \le x)\), 그리고 상측 누적확률 \(Q(X > x)\)입니다.
사용 방법
먼저 대표값으로 보고 싶은 함수를 고른 뒤, 자유도 \(\nu\)(0보다 큰 값이면 무엇이든 가능)와 계산할 지점 \(x\)를 입력하세요. \(x\)의 시작값, 증가폭, 점의 개수를 지정하면 \(x_k = \text{startX} + k \cdot \text{stepX}\) 형태의 데이터 계열이 만들어져, 선택한 함수의 표나 그래프를 그릴 수 있습니다. 모든 입력값은 무차원이므로 단위 변환은 필요 없습니다.
공식 풀이
확률밀도는 \(x \ge 0\)에서 $$f(\text{x};\,\nu) = \frac{\text{x}^{\,\frac{\nu}{2}-1}\,e^{-\frac{\text{x}}{2}}}{2^{\frac{\nu}{2}}\,\Gamma\!\left(\frac{\nu}{2}\right)}$$ 로 정의됩니다. 누적확률은 정규화된 불완전 감마 함수로 구합니다. \(P(x, \nu)\)는 \((\nu/2, x/2)\)의 하측 불완전 감마 값을 \(\Gamma(\nu/2)\)로 나눈 것이고, \(Q = 1 - P\) 입니다. $$F(\text{x};\,\nu) = P\!\left(\frac{\nu}{2},\,\frac{\text{x}}{2}\right) = \frac{\gamma\!\left(\frac{\nu}{2},\,\frac{\text{x}}{2}\right)}{\Gamma\!\left(\frac{\nu}{2}\right)}$$ $$Q(\text{x};\,\nu) = 1 - P\!\left(\frac{\nu}{2},\,\frac{\text{x}}{2}\right) = \frac{\Gamma\!\left(\frac{\nu}{2},\,\frac{\text{x}}{2}\right)}{\Gamma\!\left(\frac{\nu}{2}\right)}$$ 본 계산기는 모든 계산을 로그 공간에서 수행하며, 불완전 감마 함수에는 급수 전개 또는 연분수(렌츠 알고리즘)를 사용해 오버플로 없이 정확한 값을 얻습니다.
계산 예시
\(\nu = 3\), \(x = 2\) 인 경우를 살펴봅시다. \(a = \nu/2 = 1.5\), \(z = x/2 = 1\) 이 됩니다. 하측 누적확률 \(P(2, 3)\)은 약 \(0.42759\) 이므로 \(Q\)는 약 \(0.57241\) 입니다. 확률밀도는 $$f(2, 3) = \frac{2^{0.5} \cdot e^{-1}}{2^{1.5} \cdot \Gamma(1.5)} \approx 0.20755$$ 로 계산됩니다.
자주 묻는 질문
왜 자유도가 작을 때 x = 0에서 f가 무한대가 되나요? \(\nu < 2\) 일 때는 \(x = 0\) 에서 밀도가 무한대로 발산합니다. \(\nu = 2\) 이면 0.5이고, \(\nu > 2\) 이면 그 지점에서 0이 됩니다.
임계값은 어떻게 구하나요? 함수를 하측 누적확률 \(P\)로 설정한 뒤, \(P\)가 원하는 목표값에 이를 때까지 \(x\) 값을 바꿔 가며 시도하면 됩니다. 예를 들어 \(\nu = 1\) 에서 \(P = 0.95\) 가 되는 \(x\)는 약 \(3.8415\) 입니다.
누적확률은 정확한가요? 네. 수치 적분이 아니라 닫힌 형식의 불완전 감마 함수를 사용하므로 기계 정밀도 수준까지 정확한 결과를 제공합니다.
