역카이제곱 분포란?
자유도 ν(뉴)를 갖는 역카이제곱 분포는, 자유도 ν의 표준 카이제곱 분포를 따르는 X에 대해 \(Y = 1/X\)가 따르는 분포입니다. 베이즈 통계에서 정규분포 분산의 켤레사전분포(conjugate prior)로 폭넓게 활용되며, 신뢰성 분석이나 신호 처리 모델에서도 등장합니다. 이 계산기는 순수한 수학 계산이므로 지역이나 국가별 규칙과 무관하게 어디서나 동일하게 적용됩니다.
계산기 사용 방법
백분위 점 x(임의의 양의 실수)와 자유도 ν(임의의 양수, 보통은 양의 정수)를 입력하세요. 계산기는 세 가지 값을 돌려줍니다. 확률밀도 \(f(x)\), 하측 누적확률 \(P = P(X \le x)\), 그리고 상측 누적확률 \(Q = P(X > x)\)입니다. P와 Q는 분포 전체를 나누어 설명하므로 두 값의 합은 항상 1이 됩니다.
공식 풀이
확률밀도는 \(x > 0\)에 대해 다음과 같습니다.
$$f(x) = \frac{2^{-\nu/2}}{\Gamma\!\left(\frac{\nu}{2}\right)}\, x^{-\frac{\nu}{2}-1}\, e^{-\frac{1}{2x}}$$수치적 안정성을 위해 로그감마 함수를 이용해 로그 공간에서 계산합니다. 누적확률은 카이제곱 분포와의 역수 관계를 활용합니다. \(s = \nu/2\), \(z = 1/(2x)\)로 두면, 하측 누적확률은 정규화 상측 불완전감마 함수 \(Q(s, z)\)와 같고, 상측 누적확률은 정규화 하측 불완전감마 함수 \(P(s, z)\)와 같습니다. 이 값들은 z가 작을 때는 급수 전개로, z가 클 때는 연분수(Lentz) 방법으로 계산합니다.
계산 예시
\(x = 1\), \(\nu = 1\)인 경우를 봅시다. 그러면 \(s = 0.5\), \(z = 0.5\)가 됩니다. 확률밀도는 \(f(1) \approx 0.241971\)이고, 하측 누적확률은 \(P \approx 0.317311\), 상측 누적확률은 \(Q \approx 0.682689\)로, 두 값을 더하면 정확히 1이 됩니다.
자주 묻는 질문
왜 x는 0보다 커야 하나요? 이 분포의 정의역(support)이 \(x > 0\)이기 때문입니다. \(x \le 0\)에서는 확률밀도가 0이며, 모든 확률 질량이 그 위쪽에 위치하므로 하측 확률은 0, 상측 확률은 1이 됩니다.
ν는 반드시 정수여야 하나요? 아닙니다. 공식에 감마 함수를 사용하므로 0보다 큰 임의의 실수 ν에 대해 작동합니다. 다만 자유도는 대개 양의 정수로 쓰입니다.
이것이 스케일 역카이제곱 분포인가요? 아닙니다. 이 계산기는 카이제곱 변수의 역수에 대응하는 표준(비스케일) 역카이제곱 분포를 다룹니다.
