¿Qué es la distribución chi-cuadrado inversa?
La distribución chi-cuadrado inversa con ν (nu) grados de libertad es la distribución de \(Y = 1/X\), donde X sigue una distribución chi-cuadrado estándar con ν grados de libertad. Se emplea con frecuencia en la estadística bayesiana como distribución a priori conjugada para la varianza de una distribución normal, y también aparece en modelos de fiabilidad y de procesamiento de señales. Esta calculadora es matemática pura, así que funciona exactamente igual en cualquier lugar, sin reglas regionales que la condicionen.
Cómo usar esta calculadora
Introduce el punto percentil x (cualquier número real positivo) y los grados de libertad ν (cualquier valor positivo; normalmente un entero positivo). La herramienta devuelve tres valores: la densidad de probabilidad \(f(x)\), la probabilidad acumulada inferior \(P = P(X \le x)\) y la probabilidad acumulada superior \(Q = P(X > x)\). Como P y Q describen toda la distribución, su suma siempre es 1.
La fórmula explicada
La densidad es $$f(x) = \frac{2^{-\nu/2}}{\Gamma\!\left(\frac{\nu}{2}\right)}\, x^{-\frac{\nu}{2}-1}\, e^{-\frac{1}{2x}}$$ para \(x > 0\). Para garantizar la estabilidad numérica la calculamos en el espacio logarítmico mediante la función log-gamma. Las probabilidades acumuladas aprovechan la relación recíproca con la distribución chi-cuadrado: con \(s = \nu/2\) y \(z = 1/(2x)\), la probabilidad acumulada inferior equivale a la función gamma incompleta superior regularizada \(Q(s, z)\), y la probabilidad acumulada superior equivale a la función gamma incompleta inferior regularizada \(P(s, z)\). Estas se evalúan con un desarrollo en serie para valores pequeños de z y con el método de fracciones continuas (Lentz) para valores grandes de z.
Ejemplo resuelto
Tomemos \(x = 1\) y \(\nu = 1\). Entonces \(s = 0{,}5\) y \(z = 0{,}5\). La densidad da como resultado \(f(1) \approx 0{,}241971\). La probabilidad acumulada inferior es \(P \approx 0{,}317311\) y la superior es \(Q \approx 0{,}682689\), que efectivamente suman 1.
Preguntas frecuentes
¿Por qué x tiene que ser mayor que 0? El soporte de la distribución es \(x > 0\). Para \(x \le 0\) la densidad es 0; toda la masa de probabilidad se sitúa por encima, de modo que la probabilidad inferior es 0 y la superior es 1.
¿ν tiene que ser un número entero? No. La fórmula utiliza la función gamma, por lo que sirve cualquier \(\nu > 0\) real, aunque los grados de libertad suelen ser enteros positivos.
¿Es esta la chi-cuadrado inversa escalada? No. Esta es la distribución chi-cuadrado inversa estándar (no escalada), que corresponde al recíproco de una variable chi-cuadrado.
