व्युत्क्रम काई-स्क्वायर वितरण क्या है?
ν (nu) स्वतंत्रता की कोटियों वाला व्युत्क्रम काई-स्क्वायर वितरण असल में Y = 1/X का वितरण है, जहाँ X एक मानक काई-स्क्वायर वितरण का पालन करता है जिसकी स्वतंत्रता की कोटि ν होती है। बेज़ियन सांख्यिकी (Bayesian statistics) में इसका व्यापक उपयोग होता है, जहाँ यह सामान्य वितरण के प्रसरण (variance) के लिए एक कंजुगेट प्रायर (conjugate prior) के रूप में काम आता है। इसके अलावा यह विश्वसनीयता (reliability) और सिग्नल-प्रोसेसिंग के मॉडलों में भी दिखाई देता है। यह कैलकुलेटर पूरी तरह से शुद्ध गणित पर आधारित है, इसलिए यह हर देश में एक जैसा ही लागू होता है — इसमें किसी क्षेत्रीय नियम का कोई दख़ल नहीं।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
पर्सेंटाइल बिंदु x (कोई भी धनात्मक वास्तविक संख्या) और स्वतंत्रता की कोटि ν (कोई भी धनात्मक मान; आमतौर पर धनात्मक पूर्णांक) दर्ज करें। यह टूल तीन मान लौटाता है: प्रायिकता घनत्व \(f(x)\), निम्न संचयी प्रायिकता \(P = P(X \le x)\), और उच्च संचयी प्रायिकता \(Q = P(X > x)\)। चूँकि P और Q मिलकर पूरे वितरण को दर्शाते हैं, इनका योग हमेशा 1 होता है।
सूत्र को समझें
\(x > 0\) के लिए घनत्व इस प्रकार है:
$$f(x) = \frac{2^{-\nu/2}}{\Gamma\!\left(\frac{\nu}{2}\right)}\, x^{-\frac{\nu}{2}-1}\, e^{-\frac{1}{2x}}$$संख्यात्मक स्थिरता (numerical stability) के लिए हम इसकी गणना लॉग-गामा फलन की मदद से लॉग स्पेस में करते हैं। संचयी प्रायिकताएँ काई-स्क्वायर वितरण से व्युत्क्रम संबंध के ज़रिए निकाली जाती हैं: मान लें \(s = \nu/2\) और \(z = 1/(2x)\), तब निम्न संचयी प्रायिकता नियमित उच्च अपूर्ण गामा \(Q(s, z)\) के बराबर होती है, और उच्च संचयी प्रायिकता नियमित निम्न अपूर्ण गामा \(P(s, z)\) के बराबर होती है। छोटे z के लिए इनका मूल्यांकन श्रेणी विस्तार (series expansion) से और बड़े z के लिए सतत भिन्न (Lentz) विधि से किया जाता है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(x = 1\) और \(\nu = 1\)। तब \(s = 0.5\) और \(z = 0.5\) होगा। घनत्व का मान निकलता है \(f(1) \approx 0.241971\)। निम्न संचयी प्रायिकता \(P \approx 0.317311\) और उच्च संचयी प्रायिकता \(Q \approx 0.682689\) आती है, जिनका योग सही ढंग से 1 होता है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
x का मान 0 से बड़ा क्यों होना चाहिए? इस वितरण का परास (support) \(x > 0\) है। \(x \le 0\) के लिए घनत्व 0 होता है; पूरी प्रायिकता इसके ऊपर ही स्थित होती है, इसलिए निम्न प्रायिकता 0 और उच्च प्रायिकता 1 हो जाती है।
क्या ν का पूर्णांक होना ज़रूरी है? नहीं। सूत्र में गामा फलन का उपयोग होता है, इसलिए कोई भी वास्तविक \(\nu > 0\) काम करता है — हालाँकि स्वतंत्रता की कोटियाँ अक्सर धनात्मक पूर्णांक ही होती हैं।
क्या यह स्केल्ड (scaled) व्युत्क्रम काई-स्क्वायर है? नहीं। यह मानक (बिना स्केल वाला) व्युत्क्रम काई-स्क्वायर वितरण है, जो काई-स्क्वायर चर के व्युत्क्रम से मेल खाता है।
