Phân phối chi bình phương nghịch đảo là gì?
Phân phối chi bình phương nghịch đảo với ν (nu) bậc tự do là phân phối của Y = 1/X, trong đó X tuân theo phân phối chi bình phương chuẩn với ν bậc tự do. Phân phối này được dùng phổ biến trong thống kê Bayes như một tiên nghiệm liên hợp (conjugate prior) cho phương sai của phân phối chuẩn, đồng thời xuất hiện trong các mô hình về độ tin cậy và xử lý tín hiệu. Máy tính này thuần túy toán học nên cho kết quả như nhau ở mọi nơi, không phụ thuộc vào quy tắc của bất kỳ quốc gia nào.
Cách sử dụng máy tính
Nhập điểm phân vị x (một số thực dương bất kỳ) và bậc tự do ν (giá trị dương bất kỳ; thường là số nguyên dương). Công cụ trả về ba đại lượng: mật độ xác suất \(f(x)\), xác suất tích lũy dưới \(P = P(X \le x)\) và xác suất tích lũy trên \(Q = P(X > x)\). Vì \(P\) và \(Q\) mô tả toàn bộ phân phối nên tổng của chúng luôn bằng 1.
Giải thích công thức
Hàm mật độ có dạng
$$f(x) = \frac{2^{-\nu/2}}{\Gamma\!\left(\frac{\nu}{2}\right)}\, x^{-\frac{\nu}{2}-1}\, e^{-\frac{1}{2x}}$$với \(x > 0\). Để đảm bảo ổn định số học, chúng tôi tính trong không gian logarit bằng hàm log-gamma. Các xác suất tích lũy tận dụng liên hệ nghịch đảo với phân phối chi bình phương: với \(s = \nu/2\) và \(z = 1/(2x)\), xác suất tích lũy dưới bằng hàm gamma không hoàn chỉnh trên đã chuẩn hóa \(Q(s, z)\), còn xác suất tích lũy trên bằng hàm gamma không hoàn chỉnh dưới đã chuẩn hóa \(P(s, z)\). Chúng được tính bằng khai triển chuỗi với \(z\) nhỏ và phương pháp phân số liên tục (Lentz) với \(z\) lớn.
Ví dụ minh họa
Lấy \(x = 1\) và \(\nu = 1\). Khi đó \(s = 0{,}5\) và \(z = 0{,}5\). Mật độ tính được \(f(1) \approx 0{,}241971\). Xác suất tích lũy dưới là \(P \approx 0{,}317311\) và xác suất tích lũy trên là \(Q \approx 0{,}682689\), đúng bằng tổng là 1.
Câu hỏi thường gặp
Vì sao x phải lớn hơn 0? Miền xác định của phân phối là \(x > 0\). Với \(x \le 0\) thì mật độ bằng 0; toàn bộ khối lượng xác suất nằm phía trên, nên xác suất dưới bằng 0 và xác suất trên bằng 1.
ν có bắt buộc là số nguyên không? Không. Công thức dùng hàm gamma nên mọi giá trị thực \(\nu > 0\) đều hợp lệ, dù bậc tự do thường là số nguyên dương.
Đây có phải là chi bình phương nghịch đảo có tỷ lệ (scaled) không? Không. Đây là phân phối chi bình phương nghịch đảo chuẩn (không có tỷ lệ), tương ứng với nghịch đảo của một biến chi bình phương.
