ما هو توزيع كاي تربيع المعكوس؟
توزيع كاي تربيع المعكوس بدرجات حرية ν (نو) هو توزيع المتغير \(Y = 1/X\)، حيث يتبع X توزيع كاي تربيع القياسي بدرجات حرية ν. ويُستخدم هذا التوزيع على نطاق واسع في الإحصاء البايزي بوصفه توزيعًا مرافقًا سابقًا (conjugate prior) لتباين التوزيع الطبيعي، كما يظهر في نماذج الموثوقية ومعالجة الإشارات. هذه الحاسبة قائمة على الرياضيات البحتة، لذا تنطبق بالطريقة نفسها في كل مكان دون أي قواعد إقليمية خاصة.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل النقطة المئوية x (أي عدد حقيقي موجب) ودرجات الحرية ν (أي قيمة موجبة، وغالبًا ما تكون عددًا صحيحًا موجبًا). تُرجع الأداة ثلاث قيم: الكثافة الاحتمالية \(f(x)\)، والاحتمال التراكمي الأدنى \(P = P(X \le x)\)، والاحتمال التراكمي الأعلى \(Q = P(X > x)\). وبما أن P وQ يصفان التوزيع بأكمله، فإن مجموعهما يساوي دائمًا 1.
شرح المعادلة
تُعطى الكثافة بالعلاقة $$f(x) = \frac{2^{-\nu/2}}{\Gamma\!\left(\frac{\nu}{2}\right)}\, x^{-\frac{\nu}{2}-1}\, e^{-\frac{1}{2x}}$$ عندما \(x > 0\). ولضمان الاستقرار العددي، نحسبها في الفضاء اللوغاريتمي باستخدام دالة لوغاريتم غاما (log-gamma). أما الاحتمالات التراكمية فتعتمد على الصلة المقلوبة بتوزيع كاي تربيع: بوضع \(s = \nu/2\) و\(z = 1/(2x)\)، يساوي الاحتمال التراكمي الأدنى دالة غاما غير الكاملة العليا المنظَّمة \(Q(s, z)\)، ويساوي الاحتمال التراكمي الأعلى دالة غاما غير الكاملة الدنيا المنظَّمة \(P(s, z)\). وتُحسَب هذه القيم بمتسلسلة لتطوير القيم الصغيرة من z، وبطريقة الكسر المستمر (Lentz) للقيم الكبيرة منها.
مثال محلول
لنأخذ \(x = 1\) و\(\nu = 1\). عندها يكون \(s = 0.5\) و\(z = 0.5\). تُقيَّم الكثافة لتكون \(f(1) \approx 0.241971\). ويبلغ الاحتمال التراكمي الأدنى \(P \approx 0.317311\)، والاحتمال التراكمي الأعلى \(Q \approx 0.682689\)، وهما يجتمعان بشكل صحيح ليساوي مجموعهما 1.
الأسئلة الشائعة
لماذا يجب أن تكون x أكبر من 0؟ مجال التوزيع هو \(x > 0\). وعندما تكون \(x \le 0\) فإن الكثافة تساوي 0، وتقع كل الكتلة الاحتمالية أعلى من ذلك، لذا يكون الاحتمال الأدنى 0 والاحتمال الأعلى 1.
هل يجب أن تكون ν عددًا صحيحًا؟ لا. تستخدم المعادلة دالة غاما، لذا تصلح أي قيمة حقيقية \(\nu > 0\)، وإن كانت درجات الحرية في الغالب أعدادًا صحيحة موجبة.
هل هذا هو توزيع كاي تربيع المعكوس المُقيَّس (scaled)؟ لا. هذا هو توزيع كاي تربيع المعكوس القياسي (غير المُقيَّس)، الذي يطابق مقلوب متغير كاي تربيع.
