ما الذي تقوم به هذه الحاسبة
تحسب هذه الأداة نقطة المئين (الكَمّ) للتوزيع اللوغاريتمي الطبيعي. فبمعلومية احتمال تراكمي ووسيطَي التوزيع، تُرجِع لك القيمة x التي تبلغ عندها الدالة التراكمية (CDF) للتوزيع اللوغاريتمي الطبيعي ذلك الاحتمال. وهي الدالة العكسية للتوزيع التراكمي، وتُعرف أحيانًا باسم دالة الكَمّ. يُستخدم التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي على نطاق واسع مع الكميات الموجبة المنحرفة نحو اليمين، مثل الدخول وأحجام الجسيمات وأسعار الأسهم وأعمار المُعوَّليّة والتراكيز الحيوية. وهذه أداة رياضية كونية تنطبق بالطريقة نفسها في كل مكان.
طريقة الاستخدام
اختر أولًا ما إذا كان احتمالك قيمة ذيل سفلي \(\text{P}(X \le x)\) أم قيمة ذيل علوي \(\text{P}(X > x)\). أدخل الاحتمال (محصورًا تمامًا بين 0 و1). ثم أدخل وسيطَي التوزيع الطبيعي الأساسي لـ \(\ln(X)\): وسيط الموقع \(\mu\) (وهو متوسط \(\ln X\)) ووسيط المقياس \(\sigma\) (وهو الانحراف المعياري لـ \(\ln X\)، ويجب أن يكون موجبًا). اضغط على «احسب» للحصول على نقطة المئين \(x\).
شرح المعادلة
يكون المتغير X لوغاريتميًا طبيعيًا عندما يتبع \(\ln(X)\) توزيعًا طبيعيًا بمتوسط \(\mu\) وانحراف معياري \(\sigma\). وتُعطى دالته التراكمية السفلية بالعلاقة $$P(x) = \Phi\!\left(\frac{\ln x - \mu}{\sigma}\right)$$ حيث \(\Phi\) هي الدالة التراكمية للتوزيع الطبيعي المعياري. وبعكس هذه العلاقة نحصل على $$x = \exp\!\left(\mu + \sigma \cdot \Phi^{-1}(p)\right)$$ وإذا أدخلت احتمال ذيل علوي Q، فإننا نحوّله أولًا عبر العلاقة \(p = 1 - \text{Q}\). ويُحسب كَمّ التوزيع الطبيعي المعياري \(\Phi^{-1}\) باستخدام تقريب أكلام الكسري (Acklam)، بدقة تقارب 1e-9. لاحظ أن \(\mu\) و\(\sigma\) يصفان \(\ln X\) لا X نفسه؛ أما متوسط X فهو \(\exp(\mu + \sigma^2/2)\).
مثال محلول
لنأخذ الوضع السفلي، باحتمال = 0.975 و\(\mu = 0\) و\(\sigma = 1\). عندئذٍ \(p = 0.975\) و\(\Phi^{-1}(0.975) = 1.959964\) (وهي القيمة الحرجة الشهيرة 1.96). إذن $$x = \exp(0 + 1 \times 1.959964) = 7.0994$$ وبذلك يكون المئين الـ97.5 للتوزيع اللوغاريتمي الطبيعي المعياري نحو 7.099.
الأسئلة الشائعة
ماذا لو استخدمت الوضع العلوي؟ إدخال \(Q = 0.025\) في الوضع العلوي يعطي \(p = 1 - 0.025 = 0.975\) وبالتالي القيمة نفسها \(x \approx 7.099\) كما في المثال السابق.
ما هو الوسيط (الميديان)؟ عندما يكون \(p = 0.5\)، يكون \(\Phi^{-1}(0.5) = 0\)، ومن ثَمّ \(x = \exp(\mu)\). فوسيط التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي هو \(\exp(\mu)\) أيًا كانت قيمة \(\sigma\).
لماذا يجب أن يكون \(0 < p < 1\)؟ كلما اقترب \(p\) من 0 اقترب المئين من 0، وكلما اقترب \(p\) من 1 تباعد نحو ما لا نهاية، ولذلك تُرفض القيمتان الطرفيتان. والنتيجة موجبة دائمًا لأنها دالة أسية.
