ماذا تفعل هذه الحاسبة
يصف التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي متغيرًا عشوائيًا موجبًا يتوزع لوغاريتمه الطبيعي توزيعًا طبيعيًا. فإذا كان ln(x) يتبع توزيعًا طبيعيًا بمتوسط μ وانحراف معياري σ، فإن x يتبع التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي. تحسب هذه الأداة واحدة من ثلاث دوال على مدى مختار من قيم x، وتعرض لك جدولًا يمكنك قراءته أو رسمه: كثافة الاحتمال f(x)، أو الاحتمال التراكمي الأدنى P(x) (وهو دالة التوزيع التراكمي)، أو الاحتمال التراكمي الأعلى \(Q(x) = 1 - P(x)\).
طريقة الاستخدام
اختر الدالة التي تريد رسمها، ثم أدخل المتوسط μ والانحراف المعياري σ للمقدار ln(x). حدّد قيمة x الابتدائية، ومقدار الخطوة بين كل قيمة والتي تليها، وعدد النقاط. تحسب الأداة الدالة عند \(x_i = \text{القيمة الابتدائية} + i \times \text{الخطوة}\)، حيث \(i = 0, 1, \ldots, \text{العدد}-1\)، ثم تُدرج كل زوج (x، القيمة) في جدول. لاحظ أن σ يجب أن يكون موجبًا، وأن x يجب أن يكون غير سالب؛ وعند x = 0 تكون الكثافة والتراكمي الأدنى صفرًا، بينما يكون التراكمي الأعلى مساويًا 1.
شرح المعادلة
تُعطى الكثافة بالعلاقة $$f(x) = \frac{1}{x\,\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\!\left(-\frac{\left(\ln x - \mu\right)^{2}}{2\,\sigma^{2}}\right),\quad x>0$$ أما الاحتمال التراكمي فهو $$P(x) = \Phi\!\left(\frac{\ln x - \mu}{\sigma}\right) = \frac{1}{2}\left[1+\operatorname{erf}\!\left(\frac{\ln x - \mu}{\sigma\sqrt{2}}\right)\right]$$ حيث \(\Phi\) هي دالة التوزيع التراكمي للتوزيع الطبيعي القياسي، \(\Phi(z) = \frac{1}{2}(1 + \operatorname{erf}(z/\sqrt{2}))\). والاحتمال التراكمي الأعلى (دالة البقاء) هو $$Q(x) = 1 - \Phi\!\left(\frac{\ln x - \mu}{\sigma}\right) = \frac{1}{2}\left[1-\operatorname{erf}\!\left(\frac{\ln x - \mu}{\sigma\sqrt{2}}\right)\right]$$ ونستخدم تقريبًا كسريًا عالي الدقة لدالة الخطأ erf بأقصى خطأ نحو \(1.5\times10^{-7}\).
مثال محلول
عند μ = 0 وσ = 1 وعند x = 1: يكون \(z = (\ln 1 - 0)/1 = 0\). الكثافة \(= 1/\sqrt{2\pi} \approx 0.39894228\). والتراكمي الأدنى \(P = \Phi(0) = 0.5\). والتراكمي الأعلى \(Q = 1 - 0.5 = 0.5\). وعند x = 2: يكون \(z = \ln 2 \approx 0.6931\)، فينتج \(f \approx 0.156874\) و \(P \approx 0.75568\) و \(Q \approx 0.24432\).
الأسئلة الشائعة
هل μ وσ هما متوسط x وانحرافه المعياري؟ لا — فهما متوسط ln(x) وانحرافه المعياري، أي المتغير الطبيعي الأساسي، وليسا متوسط x نفسه.
ماذا يحدث عند x = 0؟ التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي معرّف فقط من أجل x > 0، لذا نضع \(f(0) = 0\) و \(P(0) = 0\) و \(Q(0) = 1\) لتجنّب حساب ln(0).
لماذا يجب أن يكون σ موجبًا؟ الانحراف المعياري الذي يساوي صفرًا أو أقل لا يعطي توزيعًا ذا معنى، كما أنه يؤدي إلى القسمة على صفر، لذا ترفض الحاسبة أي قيمة \(\sigma \le 0\).
