這個計算器的功能
對數常態分布（lognormal distribution）描述的是一個正值隨機變數，其自然對數呈常態分布。換句話說，若 ln(x) 服從平均數為 \(\mu\)、標準差為 \(\sigma\) 的常態分布，則 x 就服從對數常態分布。本計算器會在你指定的一系列 x 值上，計算以下三種函數之一，並產生可閱讀或繪圖的對照表：機率密度 \(f(x)\)、下累積機率 \(P(x)\)（即累積分布函數 CDF），或上累積機率 \(Q(x) = 1 - P(x)\)。
使用方法
先選擇要繪製的函數，接著輸入 \(\ln(x)\) 的平均數 \(\mu\) 與標準差 \(\sigma\)。設定起始 x 值（Initial value of x）、相鄰 x 值之間的間距（Step），以及點數（Number of points）。計算器會在 \(x_i = \text{初始值} + i \times \text{間距}\)（\(i = 0, 1, \ldots, \text{點數}-1\)）的位置上逐一求值，並將每組 (x, 函數值) 列入表中。請注意 \(\sigma\) 必須為正數，x 必須為非負值；當 x = 0 時，密度與下累積機率為 0，上累積機率則為 1。
公式說明
機率密度為 $$f(x) = \frac{1}{x\,\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\!\left(-\frac{\left(\ln x - \mu\right)^{2}}{2\,\sigma^{2}}\right),\quad x>0$$ 累積機率為 $$P(x) = \Phi\!\left(\frac{\ln x - \mu}{\sigma}\right) = \frac{1}{2}\left[1+\operatorname{erf}\!\left(\frac{\ln x - \mu}{\sigma\sqrt{2}}\right)\right]$$ 其中 \(\Phi\) 為標準常態分布的 CDF，\(\Phi(z) = \frac{1}{2}(1 + \operatorname{erf}(z/\sqrt{2}))\)。上累積機率（存活函數）則為 $$Q(x) = 1 - \Phi\!\left(\frac{\ln x - \mu}{\sigma}\right) = \frac{1}{2}\left[1-\operatorname{erf}\!\left(\frac{\ln x - \mu}{\sigma\sqrt{2}}\right)\right]$$ 我們採用高精度的 erf 有理近似式，最大誤差約為 \(1.5\times10^{-7}\)。
範例演算
取 \(\mu = 0\)、\(\sigma = 1\)，當 x = 1 時：\(z = (\ln 1 - 0)/1 = 0\)。密度 \(= 1/\sqrt{2\pi} \approx 0.39894228\)。下累積機率 \(P = \Phi(0) = 0.5\)，上累積機率 \(Q = 1 - 0.5 = 0.5\)。當 x = 2 時：\(z = \ln 2 \approx 0.6931\)，得 \(f \approx 0.156874\)、\(P \approx 0.75568\)、\(Q \approx 0.24432\)。
常見問題
\(\mu\) 與 \(\sigma\) 是 x 的平均數和標準差嗎？不是。它們是 \(\ln(x)\)（也就是底層常態變數）的平均數與標準差，而非 x 本身的。
當 x = 0 時會怎樣？對數常態分布僅在 \(x > 0\) 時有定義，因此為了避免出現 \(\ln(0)\)，我們設定 \(f(0) = 0\)、\(P(0) = 0\)、\(Q(0) = 1\)。
為什麼 \(\sigma\) 一定要是正數？標準差若為零或負值，便無法構成有意義的分布，而且會造成除以零的問題，因此計算器會拒絕 \(\sigma \le 0\) 的輸入。
