什麼是二項分布計算機？
這個工具會針對固定次數的獨立試驗，計算其二項分布。只要輸入成功次數 x、試驗次數 n，以及單次試驗的成功機率 p，它就會回傳恰好出現 x 次成功的機率（機率質量）、下累積機率、上累積機率，以及平均值。只要你重複進行相同的「是／否」實驗固定次數，且每次成功機率都維持不變，就適用二項模型，例如擲硬幣、批次中的不良品數量，或是純靠猜答對的測驗題目。
使用方式
請輸入三個純數字。成功次數 x 與試驗次數 n 必須是整數，且須滿足 \(0 \le x \le n\)、\(n \ge 1\)。機率 p 則須介於 0 與 1 之間。按下計算，就能一次取得四項結果。請注意，這是離散分布，因此主要的數值是機率質量（也就是真正的機率），而非機率密度。
公式解析
機率質量為
$$f(x,n,p) = \binom{n}{x} \, p^{x} \left(1 - p\right)^{n - x}$$其中 \(\binom{n}{x} = \dfrac{n!}{x!\,(n-x)!}\) 是二項係數，用來計算在 n 次試驗中出現 x 次成功有多少種排列方式。下累積機率 \(P(X \le x)\) 是把 t 從 0 到 x 的 \(f(t)\) 加總；上累積機率 \(Q(X \ge x)\) 則是把 t 從 x 到 n 的 \(f(t)\) 加總。由於 \(t=x\) 這個點同時被計入兩個總和，因此 \(P + Q - f(x) = 1\)。平均值就是
$$\mu = n \cdot p$$係數採用對數階乘計算，即使 n 很大也能保持數值穩定。
實際範例
當 \(x = 9\)、\(n = 20\)、\(p = 0.4\) 時：\(\binom{20}{9} = 167960\)、\(p^{9} = 0.000262144\)，而 \(0.6^{11} \approx 0.0036279706\)。因此
$$f = 167960 \times 0.000262144 \times 0.0036279706 \approx 0.15974$$平均值為 \(20 \times 0.4 = 8\)。加總後可得 \(P(X \le 9) \approx 0.75534\)、\(Q(X \ge 9) \approx 0.40440\)，符合 \(0.75534 + 0.40440 - 0.15974 \approx 1\)。
定義與詞彙表
二項分佈模型化了在固定數量的獨立是/否實驗中成功的數量。以下術語在此計算器中出現。
- 試驗：實驗的單一重複，導致兩種可能的結果之一（例如一次擲硬幣）。
- 成功：你正在計數的結果，無論你如何定義它（正面、有缺陷的零件、正確的猜測）。其補集是「失敗」。
- n（試驗次數）：執行的獨立試驗總數。它必須是一個固定的正整數。
- x（成功次數）：你想要其概率的特定成功計數，其中 \(0 \le x \le n\)。
- p（成功的概率）：任何單一試驗成功的概率，一個介於0和1之間的十進制數。
- q = 1 − p（失敗的概率）：單一試驗失敗的概率。
- 二項係數 \(\binom{n}{x}\)：選擇 \(n\) 次試驗中哪 \(x\) 次成功的不同方式數，計算為 \(\binom{n}{x}=\dfrac{n!}{x!\,(n-x)!}\)。
- 概率質量函數（pmf）、\(f(x)\)：恰好 \(x\) 次成功的概率，\(f(x)=\binom{n}{x}p^{x}(1-p)^{n-x}\)。
- 下累積概率、\(P(X \le x)\)：至多 \(x\) 次成功的概率，即從0到 \(x\) 的pmf值之和。
- 上累積概率、\(P(X \ge x)\)：至少 \(x\) 次成功的概率，即從 \(x\) 到 \(n\) 的pmf值之和。
- 平均值（期望值）、\(\mu = np\)：在多次重複上預期的平均成功次數。
- 變異數、\(\sigma^{2}=np(1-p)\)：分佈圍繞其平均值的擴散。
- 標準偏差、\(\sigma=\sqrt{np(1-p)}\)：成功計數偏離平均值的典型偏差，以 \(x\) 的相同單位表示。
解釋你的結果
此計算器返回三個概率和平均值。選擇與你問題措辭相符的那個：
- pmf、\(f(x)=P(X=x)\) — 當你想要恰好 \(x\) 次成功的機會時使用，例如「10次擲硬幣中恰好5次正面」。
- 下累積、\(P(X \le x)\) — 用於至多 \(x\) 次（「\(x\) 次或更少」），例如「5個或更少正確答案」。
- 上累積、\(P(X \ge x)\) — 用於至少 \(x\) 次（「\(x\) 次或更多」），例如「至少1個有缺陷的零件」。
注意累積部分在 \(x\) 處重疊：\(P(X \le x)+P(X \ge x)=1+f(x)\)，因為兩個範圍都包含值 \(x\) 本身。若要取得嚴格少於 \(x\)，使用 \(P(X \le x-1)\)；若要嚴格多於 \(x\)，使用 \(P(X \ge x+1)\)。
平均值 \(np\) 是預期的成功次數 — 如果你多次重複整個 \(n\)-試驗實驗的長期平均值。它不必是整數；期望值4.5只是簡單地描述一個平均值。
所有概率都報告為介於0和1之間的十進制數（乘以100得到百分比）。接近0的值意味著事件很罕見；接近1，幾乎確定。
這些結果只有在四個二項假設成立時才有效：
- 固定的試驗次數 \(n\)，在觀察結果之前決定。
- 每次試驗兩種結果 — 每次試驗要麼是成功，要麼是失敗。
- 常數概率 \(p\) 每次試驗成功的概率。
- 獨立性 — 一次試驗的結果不影響任何其他試驗。
如果試驗不獨立或 \(p\) 在試驗之間漂移（例如，從小總體無放回抽樣），二項模型只是一個近似值。
常見問題
上累積機率有包含 x 嗎？有的。這裡的 \(Q(X \ge x)\) 包含 \(t=x\) 這個點，所以它是 \(P(X \ge x)\)，而非 \(P(X > x)\)。
p=0 或 p=1 時會發生什麼？採用 \(0^{0}=1\) 的慣例，\(p=0\) 時 \(f(0)=1\)，其餘所有機率皆為 0；\(p=1\) 時則 \(f(n)=1\)。
為什麼是「機率質量」而不是「密度」？密度用於連續分布；對離散變數而言，每個結果都帶有實際的機率，因此正確的用語是「質量」。
