Máy Tính Phân Phối Nhị Thức là gì?
Công cụ này tính toán phân phối nhị thức cho một số phép thử độc lập cố định. Khi bạn nhập số lần thành công x, số phép thử n và xác suất thành công của một phép thử p, máy sẽ trả về xác suất xảy ra đúng x lần thành công (hàm khối xác suất), xác suất tích lũy dưới, xác suất tích lũy trên và giá trị trung bình. Mô hình nhị thức áp dụng cho mọi tình huống bạn lặp lại cùng một thí nghiệm dạng có/không với số lần cố định và xác suất thành công không đổi — ví dụ tung đồng xu, đếm số sản phẩm lỗi trong một lô hàng, hay số câu trắc nghiệm trả lời đúng nhờ đoán mò.
Cách sử dụng
Bạn chỉ cần nhập ba con số thuần. Số lần thành công x và số phép thử n phải là số nguyên với điều kiện 0 ≤ x ≤ n và n ≥ 1. Xác suất p phải nằm trong khoảng từ 0 đến 1. Nhấn nút tính toán để nhận cả bốn kết quả cùng một lúc. Lưu ý rằng đây là phân phối rời rạc, nên con số chính là khối xác suất (một xác suất thực sự), chứ không phải mật độ xác suất.
Giải thích công thức
Hàm khối xác suất là $$f(x,n,p) = \binom{n}{x} \, p^{x} \, (1-p)^{n-x}$$ trong đó \(\binom{n}{x} = \dfrac{n!}{x!(n-x)!}\) là hệ số nhị thức, đếm số cách để x lần thành công xảy ra trong n phép thử. Xác suất tích lũy dưới \(P(X \le x)\) là tổng \(f(t)\) với t chạy từ 0 đến x, còn xác suất tích lũy trên \(Q(X \ge x)\) là tổng \(f(t)\) với t chạy từ x đến n. Vì điểm t=x được tính trong cả hai tổng, ta có \(P + Q - f(x) = 1\). Giá trị trung bình đơn giản là $$\mu = n \cdot p$$ Các hệ số được tính bằng logarit của giai thừa (log-factorial) để giữ ổn định khi n lớn.
Ví dụ minh họa
Với \(x = 9\), \(n = 20\), \(p = 0{,}4\): \(\binom{20}{9} = 167960\), \(p^{9} = 0{,}000262144\) và \(0{,}6^{11} \approx 0{,}0036279706\). Vậy $$f = 167960 \times 0{,}000262144 \times 0{,}0036279706 \approx 0{,}15974$$ Giá trị trung bình là \(20 \times 0{,}4 = 8\). Tính tổng ta được \(P(X \le 9) \approx 0{,}75534\) và \(Q(X \ge 9) \approx 0{,}40440\), thỏa mãn \(0{,}75534 + 0{,}40440 - 0{,}15974 \approx 1\).
Định Nghĩa & Bảng Thuật Ngữ
Phân phối nhị thức mô hình hóa số lần thành công trong một số cố định các thí nghiệm độc lập có kết quả yes/no. Các thuật ngữ dưới đây xuất hiện xuyên suốt máy tính này.
- Thử nghiệm: một lần lặp lại đơn lẻ của thí nghiệm dẫn đến một trong hai kết quả có thể xảy ra (ví dụ như tung đồng xu một lần).
- Thành công: kết quả bạn đang tính, bất kỳ cách định nghĩa nào bạn chọn (mặt ngửa, một bộ phận bị lỗi, một đoán đúng). Phần bổ sung của nó là một "thất bại."
- n (số lần thử nghiệm): tổng số các lần thử nghiệm độc lập được thực hiện. Nó phải là một số nguyên dương cố định.
- x (số lần thành công): số lượng cụ thể của các lần thành công mà bạn muốn biết xác suất, trong đó \(0 \le x \le n\).
- p (xác suất thành công): xác suất mà bất kỳ lần thử nghiệm nào là thành công, một số thập phân từ 0 đến 1.
- q = 1 − p (xác suất thất bại): xác suất mà một lần thử nghiệm là thất bại.
- Hệ số nhị thức \(\binom{n}{x}\): số cách riêng biệt để chọn \(x\) trong \(n\) lần thử nghiệm là thành công, được tính toán là \(\binom{n}{x}=\dfrac{n!}{x!\,(n-x)!}\).
- Hàm khối lượng xác suất (pmf), \(f(x)\): xác suất của chính xác \(x\) lần thành công, \(f(x)=\binom{n}{x}p^{x}(1-p)^{n-x}\).
- Xác suất tích lũy dưới, \(P(X \le x)\): xác suất của tối đa \(x\) lần thành công, tổng của các giá trị pmf từ 0 đến \(x\).
- Xác suất tích lũy trên, \(P(X \ge x)\): xác suất của ít nhất \(x\) lần thành công, tổng của các giá trị pmf từ \(x\) đến \(n\).
- Trung bình (giá trị kỳ vọng), \(\mu = np\): số lần thành công trung bình dự kiến qua nhiều lần lặp lại.
- Phương sai, \(\sigma^{2}=np(1-p)\): sự phân tán của phân phối xung quanh giá trị trung bình của nó.
- Độ lệch chuẩn, \(\sigma=\sqrt{np(1-p)}\): độ lệch điển hình của số lần thành công từ giá trị trung bình, trong cùng các đơn vị như \(x\).
Diễn Giải Kết Quả Của Bạn
Máy tính này trả về ba xác suất và giá trị trung bình. Chọn cái phù hợp với từ ngữ của câu hỏi của bạn:
- pmf, \(f(x)=P(X=x)\) — sử dụng khi bạn muốn cơ hội của chính xác \(x\) lần thành công, ví dụ như "chính xác 5 mặt ngửa trong 10 lần tung."
- Tích lũy dưới, \(P(X \le x)\) — sử dụng cho tối đa \(x\) ("\(x\) hoặc ít hơn"), ví dụ như "5 hoặc ít hơn câu trả lời đúng."
- Tích lũy trên, \(P(X \ge x)\) — sử dụng cho ít nhất \(x\) ("\(x\) hoặc nhiều hơn"), ví dụ như "ít nhất 1 bộ phận bị lỗi."
Lưu ý rằng các phần tích lũy trùng lặp tại \(x\): \(P(X \le x)+P(X \ge x)=1+f(x)\), vì cả hai phạm vi đều bao gồm giá trị \(x\) chính nó. Để có được nghiêm ngặt ít hơn \(x\), sử dụng \(P(X \le x-1)\); cho nghiêm ngặt nhiều hơn \(x\), sử dụng \(P(X \ge x+1)\).
Giá trị trung bình \(np\) là số lần thành công kỳ vọng — trung bình dài hạn nếu bạn lặp lại toàn bộ thí nghiệm \(n\)-lần thử này nhiều lần. Nó không cần phải là một số nguyên; một giá trị kỳ vọng là 4,5 chỉ đơn giản mô tả một mức trung bình.
Tất cả các xác suất được báo cáo dưới dạng số thập phân từ 0 đến 1 (nhân với 100 để có tỷ lệ phần trăm). Giá trị gần 0 có nghĩa là sự kiện hiếm xảy ra; gần 1, gần như chắc chắn.
Những kết quả này chỉ hợp lệ khi bốn giả định nhị thức giữ nguyên:
- Số lượng cố định các lần thử nghiệm \(n\), quyết định trước khi quan sát kết quả.
- Hai kết quả trên mỗi lần thử nghiệm — mỗi lần thử nghiệm là thành công hoặc thất bại.
- Xác suất không đổi \(p\) của thành công trên mỗi lần thử nghiệm.
- Độc lập — kết quả của một lần thử nghiệm không ảnh hưởng đến bất kỳ cái nào khác.
Nếu các lần thử nghiệm không độc lập hoặc \(p\) thay đổi giữa các lần thử nghiệm (ví dụ như lấy mẫu không thay thế từ một quần thể nhỏ), mô hình nhị thức chỉ là một xấp xỉ.
Câu hỏi thường gặp
Xác suất tích lũy trên có bao gồm điểm x không? Có. Ở đây \(Q(X \ge x)\) bao gồm cả điểm t=x, nên đó là \(P(X \ge x)\), chứ không phải \(P(X > x)\).
Điều gì xảy ra khi p=0 hoặc p=1? Theo quy ước \(0^{0}=1\), khi p=0 ta có \(f(0)=1\) và mọi xác suất khác bằng 0; khi p=1 ta có \(f(n)=1\).
Vì sao gọi là "khối xác suất" mà không phải "mật độ"? Mật độ chỉ dùng cho phân phối liên tục; còn với biến rời rạc, mỗi kết quả mang một xác suất thực, nên "khối" (mass) mới là thuật ngữ chính xác.
