Phân phối nhị thức âm là gì?
Phân phối nhị thức âm mô tả số lần thất bại x xảy ra trước khi đạt được thành công thứ k trong một chuỗi các phép thử Bernoulli độc lập, trong đó mỗi phép thử có xác suất thành công là p. Máy tính này sử dụng cách tham số hóa theo "số lần thất bại trước thành công thứ k", nên biến ngẫu nhiên nhận các giá trị \(x = 0, 1, 2, \ldots\) Công cụ trả về hàm khối xác suất f, xác suất tích lũy dưới P, hoặc xác suất phía trên (hàm sống sót) Q, đồng thời lập bảng giá trị của hàm bạn chọn trên một dải các giá trị x.
Cách sử dụng
Trước tiên hãy chọn hàm cần tính: f (hàm khối xác suất), P (tích lũy dưới) hoặc Q (tích lũy trên). Sau đó nhập số lần thành công cần đạt k (một số nguyên dương), xác suất thành công của mỗi phép thử p (nằm trong khoảng từ 0 đến 1), giá trị x ban đầu, bước nhảy giữa các dòng và số dòng muốn tạo. Bảng kết quả sẽ liệt kê từng giá trị x cùng xác suất tương ứng; ngoài ra còn hiển thị kỳ vọng và phương sai của số lần thất bại.
Giải thích công thức
Hàm khối xác suất là
$$f(x,k,p) = \binom{x+k-1}{x}\,p^{k}\,(1-p)^{x}$$trong đó C là hệ số nhị thức. Hàm phân phối tích lũy dưới là
$$P(x,k,p) = \sum_{t=0}^{x} \binom{t+k-1}{t}\,p^{k}\,(1-p)^{t}$$Hàm tích lũy trên (hàm sống sót) là
$$Q(x,k,p) = 1 - \sum_{t=0}^{x-1} \binom{t+k-1}{t}\,p^{k}\,(1-p)^{t}$$bằng tổng \(f(t)\) với mọi \(t \ge x\). Số lần thất bại trung bình là \(\dfrac{k(1-p)}{p}\) và phương sai là \(\dfrac{k(1-p)}{p^{2}}\).
Ví dụ minh họa
Với \(k = 4\), \(p = 0.4\), hãy tính \(f(x=2)\):
$$\binom{5}{2} = 10, \quad p^{4} = 0.0256, \quad (0.6)^{2} = 0.36$$do đó
$$f = 10 \times 0.0256 \times 0.36 = 0.09216$$Tích lũy dưới
$$P(2) = f(0)+f(1)+f(2) = 0.0256 + 0.06144 + 0.09216 = 0.1792$$Hàm sống sót
$$Q(2) = 1 - P(1) = 1 - (0.0256 + 0.06144) = 0.91296$$Câu hỏi thường gặp
x đếm số thành công hay số thất bại? Ở đây x đếm số lần thất bại trước khi đạt thành công thứ k. Tổng số phép thử sẽ là \(x + k\).
Nếu p = 1 thì sao? Khi đó không thể có thất bại nào, vì vậy \(f(0) = 1\) và \(f(x) = 0\) với mọi \(x > 0\).
Nếu p = 0 thì sao? Phân phối trở nên suy biến (kỳ vọng có vô số lần thất bại), và \(f(x) = 0\) với mọi giá trị x hữu hạn.
