음이항분포란?
음이항분포는 성공 확률이 p인 독립적인 베르누이 시행을 반복할 때, k번째 성공이 나오기까지 발생하는 실패 횟수 x를 나타내는 확률분포입니다. 이 계산기는 "k번째 성공 전까지의 실패 횟수" 방식으로 모수를 설정하므로, 확률변수는 x = 0, 1, 2, … 의 값을 가집니다. 확률질량 f, 하측 누적확률 P, 상측(생존) 확률 Q를 구할 수 있으며, 선택한 함수를 여러 x 값에 대해 표로 정리해 보여줍니다.
사용 방법
먼저 계산할 함수를 선택하세요. f(확률질량), P(하측 누적), Q(상측 누적) 중에서 고를 수 있습니다. 그다음 필요한 성공 횟수 k(양의 정수), 시행당 성공 확률 p(0과 1 사이), 시작 x 값, 행 사이의 간격, 생성할 행 수를 입력합니다. 표에는 각 x 값과 그에 해당하는 확률이 나열되며, 실패 횟수의 평균과 분산도 함께 표시됩니다.
공식 설명
확률질량함수는 $$f(x,k,p) = \binom{x+k-1}{x}\,p^{k}\,(1-p)^{x}$$ 이며, 여기서 \(C\)는 이항계수입니다. 하측 누적분포함수는 \(t=0\)부터 \(x\)까지의 \(f(t,k,p)\) 합, 즉 $$P(x,k,p) = \sum_{t=0}^{x} \binom{t+k-1}{t}\,p^{k}\,(1-p)^{t}$$ 입니다. 상측 누적(생존)함수는 $$Q(x,k,p) = 1 - P(x-1,k,p)$$ 로, \(t \ge x\) 인 모든 \(f(t)\)의 합과 같습니다. 평균 실패 횟수는 \(k(1-p)/p\), 분산은 \(k(1-p)/p^{2}\) 입니다.
계산 예시
\(k = 4\), \(p = 0.4\) 일 때 \(f(x=2)\)를 구해 봅시다. \(\binom{5}{2} = 10\), \(p^{4} = 0.0256\), \((0.6)^{2} = 0.36\) 이므로 $$f = 10 \times 0.0256 \times 0.36 = 0.09216$$ 입니다. 하측 누적 $$P(2) = f(0)+f(1)+f(2) = 0.0256 + 0.06144 + 0.09216 = 0.1792$$ 입니다. 생존확률 $$Q(2) = 1 - P(1) = 1 - (0.0256 + 0.06144) = 0.91296$$ 입니다.
자주 묻는 질문
x는 성공 횟수인가요, 실패 횟수인가요? 여기서 x는 k번째 성공이 나오기 전까지의 실패 횟수를 셉니다. 전체 시행 횟수는 x + k가 됩니다.
p = 1이면 어떻게 되나요? 실패가 일어날 수 없으므로 f(0) = 1이고, x > 0인 경우 f(x) = 0입니다.
p = 0이면 어떻게 되나요? 분포가 퇴화(degenerate)되어 무한히 많은 실패가 예상되며, 모든 유한한 x에 대해 f(x) = 0입니다.
