이항분포 백분위수 계산기 | 이항 CDF 역함수로 분위점 x 구하기

시행 횟수 n	20
성공확률 p	0.25
목표 누적확률	0.3

이항분포 백분위수 계산기란?

이 계산기는 이항분포 B(n, p)의 누적분포함수(CDF)를 역으로 계산하는 도구입니다. 목표로 하는 누적확률을 입력하면, 그 확률에 도달하는 지점인 분위점 x를 돌려줍니다. 이항분포는 이산형 분포이므로, 결과값은 주변 정수 사이를 연속적으로 보간(interpolation)한 값이 됩니다. 따라서 $x$는 대개 정수가 아닙니다.

백분위수 점까지 누적 영역을 강조한 이항분포 막대그래프 — 백분위수 점 x는 누적 확률이 목표 P에 도달하는 가장 작은 값입니다.

사용 방법

먼저 누적 방식을 선택합니다. 하측 누적확률 P는 입력한 확률을 $P(X \le x)$로 해석하고, 상측 누적확률 Q는 $P(X \ge x)$로 해석합니다. 이어서 목표 누적확률(0과 1 사이), 시행 횟수 $n$, 한 번의 시행에서의 성공확률 $p$를 입력하세요. 그러면 계산기가 분위점 $x$를 계산해 줍니다.

공식 자세히 보기

확률질량함수(PMF)는 다음과 같습니다.

$$f(x,n,p) = \binom{n}{x}\, p^{x}\,(1-p)^{n-x}$$

하측 누적분포는 $t = 0$부터 $x$까지 $f(t)$를 모두 더한 값으로 다음과 같습니다.

$$P(x) = \sum f(t)$$

계산기는 모든 정수 $k$에 대해 $F(k)$를 구한 뒤, $F(k-1) < P \le F(k)$를 만족하는 구간을 찾고, 다음과 같이 보간합니다:

$$x = (k-1) + \frac{P - F(k-1)}{F(k) - F(k-1)}$$

상측 방식에서는 같은 원리로 보완 꼬리확률 $G(k) = P(X \ge k)$를 사용합니다.

백분위수 점을 찾기 위해 두 누적값 사이의 보간을 보여주는 계단형 CDF 곡선 — CDF 역변환: 목표 확률이 F(k-1)과 F(k) 사이에 있으며, x는 그 구간에서 보간됩니다.

계산 예시

$n = 20$, $p = 0.25$, 하측 누적확률 $P = 0.3$인 경우를 봅시다. CDF는 $F(3) = 0.225156$, $F(4) = 0.414842$ 입니다. $0.3$은 이 구간 안에 들어가므로, 다음과 같이 됩니다.

$$x = 3 + \frac{0.3 - 0.225156}{0.414842 - 0.225156} = 3 + 0.394672 = 3.3947$$

정의 & 용어집

이항분포 $B(n,p)$는 각각 성공 확률이 $p$인 $n$개의 독립적인 시행에서 성공 횟수 $X$를 모델링합니다. 이 계산기는 누적분포함수(CDF)를 역함수화하여 선택한 누적 확률에 대응하는 백분위수 $x$를 찾습니다.

시행 횟수 $n$: 고정된 독립적인 베르누이 시행의 개수입니다. 양의 정수여야 합니다. 양식에서는 trials 필드입니다.
성공 확률 $p$: 단일 시행에서의 성공 확률이며, $0 \le p \le 1$입니다. 모든 시행에 동일한 값이 적용됩니다. 양식에서는 successProbability입니다.
확률질량함수(PMF): 정확히 $k$번의 성공 확률: $P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}$ (단, $k = 0,1,\dots,n$).
누적분포함수(CDF): $k$를 포함하여 그 이하까지의 PMF 누합: $F(k)=\sum_{t=0}^{k}\binom{n}{t}p^{t}(1-p)^{n-t}=P(X\le k)$. 이는 각 정수 지점에서 점프하는 비감소 계단함수입니다.
하한 누적 $P = P(X \le x)$: 성공 횟수가 최대 $x$일 확률입니다. 하한 모드를 선택할 때(cumulativeMode = lower), 계산기는 $F(x) \ge P$를 만족하는 가장 작은 $x$를 반환합니다.
상한 누적 $Q = P(X \ge x)$: 성공 횟수가 최소 $x$일 확률입니다. 정의역이 이산이므로 $P(X\ge x)=1-F(x-1)$입니다. 상한 모드에서는 계산기가 $P(X\ge x)\le Q$를 만족하는 가장 작은 $x$를 반환합니다(동등하게 그 질량이 $Q$를 초과하지 않는 가장 큰 끝부분).
백분위수 $x$: 요청한 누적 확률에서의 성공 횟수 — 분위수 또는 역CDF 값입니다. 예를 들어, 90번째 백분위수는 $F(x)\ge 0.90$을 만족하는 가장 작은 $x$입니다.
계단 내 보간: 이항분포 CDF가 계단함수이므로, 정확한 목표 확률은 보통 두 정수값 $k-1$과 $k$ 사이에 있습니다. 선형 보간은 연속 백분위수를 $x \approx (k-1) + \dfrac{P - F(k-1)}{F(k)-F(k-1)}$로 추정합니다. 여기서 $F(k)-F(k-1)=P(X=k)$입니다. 정수 백분위수는 항상 $k$이며, 보간은 보고를 위한 소수 부분의 개선일 뿐입니다.