二项分布百分位点计算器（B(n, p) 逆累积分布）

试验次数 n	20
成功概率 p	0.25
目标累积概率	0.3

什么是二项分布百分位点计算器？

这款工具用于对二项分布 $B(n, p)$ 的累积分布函数（CDF）求逆。给定一个目标累积概率，它会返回达到该概率时对应的取值 $x$，也就是百分位点。由于二项分布是离散分布，计算结果会在相邻两个整数之间做连续插值，因此 $x$ 通常不是整数。

二项分布柱状图，突出显示直到某百分位点的累积面积 — 百分位点 $x$ 是累积概率达到目标 $P$ 的最小值。

如何使用

先选择累积方式：下侧累积 P 表示把你的概率视为 $P(X \le x)$；上侧累积 Q 则视为 $P(X \ge x)$。接着填入目标累积概率（取值在 0 到 1 之间）、试验次数 $n$，以及单次试验的成功概率 $p$。计算器随即给出百分位点 $x$。

公式解析

概率质量函数为 $$f(x,n,p) = \binom{n}{x}\, p^{x}\,(1-p)^{\,n-x}.$$ 下侧累积分布为 $$P(x) = \sum_{t=0}^{x} f(t).$$ 工具会对每个整数 $k$ 计算 $F(k)$，找到满足 $F(k-1) < P \le F(k)$ 的那一段，然后进行插值： $$x = (k-1) + \frac{P - F(k-1)}{F(k) - F(k-1)}.$$ 上侧模式则用互补的尾部概率 $G(k) = P(X \ge k)$，原理完全相同。

阶梯状 CDF 曲线，展示在两个累积值之间插值以求得百分位点 — 反转 CDF：目标概率落在 $F(k-1)$ 与 $F(k)$ 之间，$x$ 在该区间内插值得到。

实例演示

设 $n = 20$、$p = 0.25$、下侧累积 $P = 0.3$：累积分布函数给出 $F(3) = 0.225156$、$F(4) = 0.414842$。由于 0.3 落在这一段内，故 $$x = 3 + \frac{0.3 - 0.225156}{0.414842 - 0.225156} = 3 + 0.394672 = 3.3947.$$

定义与词汇表

二项分布 $B(n,p)$ 用来模拟 $n$ 个独立试验中成功次数 $X$ 的分布，每个试验的成功概率为 $p$。该计算器通过反演其累积分布函数（CDF）来找到对应于选定累积概率的百分位点 $x$。

试验次数 $n$: 固定的独立伯努利试验次数。必须是正整数。在表单中对应字段名为 trials。
成功概率 $p$: 单次试验中成功的概率，其中 $0 \le p \le 1$。该值对所有试验都相同。在表单中对应字段名为 successProbability。
概率质量函数（PMF）: 恰好成功 $k$ 次的概率：$P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}$，其中 $k = 0,1,\dots,n$。
累积分布函数（CDF）: PMF 直到并包括 $k$ 的累计和：$F(k)=\sum_{t=0}^{k}\binom{n}{t}p^{t}(1-p)^{n-t}=P(X\le k)$。这是一个非递减的阶梯函数，在每个整数处跳跃。
下尾累积 $P = P(X \le x)$: 成功次数至多为 $x$ 的概率。当选择下尾模式（cumulativeMode = lower）时，计算器返回满足 $F(x) \ge P$ 的最小 $x$。
上尾累积 $Q = P(X \ge x)$: 成功次数至少为 $x$ 的概率。因为支撑集是离散的，$P(X\ge x)=1-F(x-1)$。在上尾模式中，计算器返回满足 $P(X\ge x)\le Q$ 的最小 $x$（等价地，返回累积质量不超过 $Q$ 的最大尾部）。
百分位点 $x$: 在请求的累积概率处的成功次数——即分位数或反函数值。例如，第 90 百分位数是满足 $F(x)\ge 0.90$ 的最小 $x$。
步骤内插值: 因为二项 CDF 是一个阶梯函数，精确目标概率通常落在两个整数值 $k-1$ 和 $k$ 之间。线性插值将连续百分位数估计为 $x \approx (k-1) + \dfrac{P - F(k-1)}{F(k)-F(k-1)}$，其中 $F(k)-F(k-1)=P(X=k)$。整数百分位点本身总是 $k$；插值仅用于报告的小数部分精化。