什么是帕累托分布百分位计算器？
本工具用于计算帕累托 I 型（Pareto Type I）分布的百分位，也称为分位数。只要给定目标累积概率以及分布的两个参数——尺度参数 \(a\)（即最小值 \(x_m\)）和形状参数 \(b\)（即 alpha，尾部指数），它就能返回分布达到该概率时对应的取值 \(x\)。帕累托分布常用于刻画财富、收入、城市规模、文件大小等服从“二八定律”（80/20）的重尾现象。
使用方法
首先选择累积模式。如果你的概率是下尾 CDF 值 \(P = \Pr(X \le x)\)，请选择“下尾累积 P”；如果是上尾生存概率 \(Q = \Pr(X > x)\)，则选择“上尾累积 Q”。接着输入介于 0 到 1 之间的累积概率，再填入尺度参数 \(a\)（必须大于 0）和形状参数 \(b\)（必须大于 0）。计算器会把你的输入统一换算为下尾概率，并反解 CDF 得出结果。
公式详解
当 \(x \ge a\) 时，帕累托 I 型分布的 CDF 为 \(P(x) = 1 - (a/x)^b\)。对 \(x\) 求解可得
$$x = a \cdot \left(1 - P\right)^{-1/b}$$当你输入的是上尾概率 \(Q\) 时，由于 \(1 - P = Q\)，公式即简化为
$$x = a \cdot Q^{-1/b}$$因为 \(a > 0\)，且 \(0 \le 1 - P \le 1\)、\(b > 0\)，所以结果始终满足 \(x \ge a\)，落在分布的支撑区间之内。
实例演算
以上尾情形为例，取 \(Q = 0.1\)、\(a = 2\)、\(b = 3\)。则
$$x = 2 \cdot (0.1)^{-1/3} = 2 \cdot 10^{1/3} = 2 \cdot 2.15443 = 4.30887$$验证一下：\(Q(x) = (2 / 4.30887)^3 \approx 0.1\)，结果吻合。再看标准帕累托分布，取 \(a = 1\)、\(b = 1\)、\(P = 0.5\)，则中位数为 \(x = 1 / (1 - 0.5) = 2\)。
常见问题
当 \(P = 1\)（或 \(Q = 0\)）时会怎样？ 此时分位数趋于无穷大，因为帕累托分布的右尾无限延伸。遇到这种情况，计算器会给出提示，而不会进行除以零的运算。
当 \(P = 0\) 时结果代表什么？ 此时分位数等于 \(a\)，即分布的最小值，也是支撑区间的左端点。
尺度参数和形状参数有什么区别？ 尺度参数 \(a\) 决定了可能取到的最小值；形状参数 \(b\) 则控制尾部的厚重程度——\(b\) 越小，尾部越厚，出现极端大值的可能性也越高。
