拉普拉斯分布分位数（百分位）计算器

输入计算

结果

百分位 / 分位数 x

与 a 和 b 单位相同

分布	拉普拉斯（双指数）
结果解读	Quantile x such that Pr(X <= x) = 0.5

什么是拉普拉斯分布分位数计算器？

本工具用于计算拉普拉斯分布（又称双指数分布）的百分位数，也就是分位数。只要给定一个累积概率，它就能返回达到该概率所对应的取值 $x$。这是一款通用数学工具，在任何地区的计算结果都完全一致，不涉及任何特定国家或地区的假设。

拉普拉斯分布有两个参数：位置参数 $a$（即均值与中位数）和尺度参数 $b$（要求 $b > 0$）。其概率密度函数为 $$f(x) = \frac{1}{2b}\cdot\exp\!\left(-\frac{|x-a|}{b}\right)$$ 曲线在 $a$ 处形成一个尖峰，并向两侧呈对称的指数衰减。其方差为 $2b^2$。

Laplace distribution PDF curve with a shaded left tail area P up to a quantile x — The percentile x is the point where the cumulative area (probability P) under the Laplace density reaches the chosen level.

如何使用

输入位置参数 $a$、尺度参数 $b$（必须为正数），然后选择你的概率属于哪种类型：下侧累积概率 $P = \Pr(X \le x)$，还是上侧累积概率 $Q = \Pr(X > x)$，再填入一个严格介于 0 与 1 之间的概率值。计算器即可返回分位数 $x$。

公式详解

拉普拉斯分布的累积分布函数为：当 $x < a$ 时，$P(x) = 0.5\cdot\exp\!\left(\frac{x-a}{b}\right)$；当 $x \ge a$ 时，$P(x) = 1 - 0.5\cdot\exp\!\left(-\frac{x-a}{b}\right)$。对其求逆即可得到分位数函数：$$x = \begin{cases} a + b \ln\!\left(2P\right), & P \le 0.5 \\[1em] a - b \ln\!\left(2(1-P)\right), & P > 0.5 \end{cases}$$ 若你输入的是上侧概率 $Q$，工具会先令 $P = 1 - Q$，再套用上述求逆公式。需要注意的是，$P = 0.5$ 时结果始终为 $x = a$，因为中位数恰好等于位置参数。

Laplace CDF S-shaped curve mapping probability P on the vertical axis to quantile x on the horizontal axis — Finding a percentile means inverting the Laplace CDF: pick P on the vertical axis and read across to the quantile x.

实例演算

设 $a = 0$，$b = 1$，下侧概率 $P = 0.75$。由于 $P > 0.5$，可得 $$x = 0 - 1\cdot\ln(2\cdot 0.25) = -\ln(0.5) = \ln(2) \approx 0.6931471806$$ 也就是说，有 75% 的概率质量落在 $x \approx 0.693$ 及其以下。