라플라스 분포 백분위수(분위수) 계산기

계산 입력

결과

백분위수 / 분위수 x

a, b와 동일한 단위

분포	라플라스 (이중 지수)
해석	Quantile x such that Pr(X <= x) = 0.5

라플라스 분포 백분위수 계산기란?

이 도구는 라플라스 분포(이중 지수 분포라고도 함)의 백분위수, 즉 분위수를 계산합니다. 누적 확률을 입력하면 그 확률에 도달하는 값 x를 돌려줍니다. 국가별 가정이 전혀 없는 범용 수학 도구로, 어디에서나 동일하게 작동합니다.

라플라스 분포는 위치 모수 $a$(평균이자 중앙값)와 척도 모수 $b$($b > 0$)를 가집니다. 확률밀도함수는 $$f(x) = \frac{1}{2b}\cdot\exp\!\left(-\frac{|x-a|}{b}\right)$$이며, $a$에서 뾰족한 정점을 이루고 좌우 대칭의 지수 꼬리를 가집니다. 분산은 $2b^2$입니다.

Laplace distribution PDF curve with a shaded left tail area P up to a quantile x — The percentile x is the point where the cumulative area (probability P) under the Laplace density reaches the chosen level.

사용 방법

위치 모수 $a$와 척도 모수 $b$(반드시 양수)를 입력하고, 사용하는 확률이 하측 누적 확률 $P = \Pr(X \le x)$인지 상측 누적 확률 $Q = \Pr(X > x)$인지 선택한 뒤, 0과 1 사이(양 끝값 제외)의 확률을 입력하세요. 계산기가 분위수 $x$를 돌려줍니다.

공식 풀이

라플라스 분포의 CDF는 $x < a$일 때 $P(x) = 0.5\cdot\exp\!\left(\frac{x-a}{b}\right)$, $x \ge a$일 때 $P(x) = 1 - 0.5\cdot\exp\!\left(-\frac{x-a}{b}\right)$입니다. 이를 역산하면 분위수 함수가 됩니다.

$$x = \begin{cases} a + b\cdot\ln(2P), & P \le 0.5 \\[1em] a - b\cdot\ln\!\left(2(1-P)\right), & P > 0.5 \end{cases}$$

상측 확률 $Q$를 입력하면 도구가 먼저 $P = 1 - Q$로 변환한 다음 동일한 역산을 적용합니다. 중앙값이 위치 모수와 같으므로 $P = 0.5$일 때는 항상 $x = a$를 돌려줍니다.

Laplace CDF S-shaped curve mapping probability P on the vertical axis to quantile x on the horizontal axis — Finding a percentile means inverting the Laplace CDF: pick P on the vertical axis and read across to the quantile x.

계산 예시

$a = 0$, $b = 1$, 하측 확률 $P = 0.75$라고 합시다. $P > 0.5$이므로 $$x = 0 - 1\cdot\ln(2\cdot0.25) = -\ln(0.5) = \ln(2) \approx 0.6931471806$$입니다. 즉 전체 확률의 75%가 $x \approx 0.693$ 이하에 분포합니다.