이 계산기는 무엇을 하나요?
로지스틱 분포는 정규분포처럼 종 모양을 이루지만 꼬리가 더 두꺼운 연속 확률분포입니다. 로지스틱 회귀, 성장 모형, 신뢰성 분석 등에서 폭넓게 활용되죠. 이 도구는 그 역방향 문제를 풀어 줍니다. 즉, 누적확률을 입력하면 로지스틱 누적분포함수(CDF)가 해당 확률에 도달하는 백분위수 점 \(x\)(분위수라고도 함)를 돌려줍니다.
사용 방법
먼저 입력한 확률이 하측 누적확률 \(P(X \le x)\)인지, 아니면 상측 누적확률 \(P(X > x)\)인지 선택하세요. 그다음 0과 1 사이(양 끝값은 제외)의 확률 값을 입력하고, 위치 모수 \(a\)(평균이자 중앙값)와 0보다 큰 척도 모수 \(b\)를 지정합니다. 계산기는 분위수 \(x\)와 함께 실제로 사용된 하측 누적확률, 그리고 그 로짓(로그 오즈)을 함께 보여 줍니다.
공식 풀이
로지스틱 CDF는 $$F(x) = \frac{1}{1 + e^{-(x-a)/b}}$$ 입니다. 이를 \(x\)에 대해 풀면 다음과 같은 분위수 함수를 얻습니다.
$$x = \text{a} + \text{b} \cdot \ln\!\left(\frac{\text{p}}{1 - \text{p}}\right)$$
여기서 \(p\)는 하측 누적확률입니다. 상측 확률 \(Q\)를 입력했다면 계산기가 먼저 \(p = 1 - Q\)로 변환합니다. \(\ln(p / (1 - p))\) 항은 확률의 로짓, 즉 로그 오즈입니다. \(p = 0.5\)일 때 로짓은 0이 되어 분위수가 위치 모수 \(a\)와 같아지며, 이는 \(a\)가 곧 중앙값임을 확인해 줍니다.
계산 예시
probabilityType = lower, probability = 0.9, a = 5, b = 2 라고 가정해 봅시다. 그러면 \(p / (1 - p) = 0.9 / 0.1 = 9\) 이고, \(\ln(9) = 2.197224577\) 입니다. 따라서 $$x = 5 + 2 \times 2.197224577 = 9.394449$$ 가 됩니다. 즉, 이 로지스틱 분포의 90번째 백분위수는 약 9.39입니다.
자주 묻는 질문
확률이 0.5일 때는 어떻게 되나요? 로지스틱 분포는 평균이자 중앙값을 중심으로 좌우 대칭이므로, 분위수는 정확히 위치 모수 \(a\)가 됩니다.
확률이 왜 반드시 0과 1 사이여야 하나요? 확률이 0에 가까워지면 분위수는 음의 무한대로, 1에 가까워지면 양의 무한대로 발산합니다. 따라서 양 끝값에서는 유한한 값을 가질 수 없습니다.
척도 모수 \(b\)는 무엇인가요? \(b\)는 분포의 퍼짐 정도를 결정합니다. \(b\)가 클수록 곡선이 더 넓게 늘어나죠. 표준편차는 \(b\pi/\sqrt{3}\) 으로 계산됩니다.
