이 계산기의 기능
이 도구는 코시 분포(로렌츠 분포라고도 함)의 백분위수(분위수 또는 백분점이라고도 부릅니다)를 계산합니다. 누적확률과 분포의 두 모수, 즉 위치 모수 x0(중앙값이자 봉우리 위치)와 척도 모수 γ(감마, 최대값의 절반에서의 반치폭)를 입력하면, 해당 확률에 도달하는 값 x를 돌려줍니다. 이는 순수한 수학 계산이므로 국가나 지역에 관계없이 동일하게 적용됩니다.
사용 방법
먼저 누적 방식을 선택하세요. 입력하려는 확률 P가 좌측 꼬리 확률, 즉 \(P = \text{Prob}(X \le x)\)라면 하측(Lower)을 선택합니다. 확률 Q가 우측 꼬리 확률, 즉 \(Q = \text{Prob}(X \ge x)\)라면 상측(Upper)을 선택합니다. 그런 다음 0과 1 사이의 값(예: 95번째 백분위수라면 0.95)으로 확률을 입력하고, 위치 모수 x0와 척도 모수 γ(반드시 양수여야 함)를 입력합니다. 계산기가 그에 해당하는 x 값을 반환합니다.
공식 설명
코시 분포의 누적분포함수(CDF)는 $$F(x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi}\arctan\!\left(\frac{x - \text{x}_0}{\gamma}\right)$$ 입니다. 이를 역으로 풀면 분위수 함수 $$x = \text{x}_0 + \gamma \cdot \tan\!\left(\pi\left(\text{P} - \tfrac{1}{2}\right)\right)$$가 되며, 여기서 P는 하측 누적확률입니다. 상측 확률 Q를 입력한 경우 계산기는 먼저 \(P = 1 - Q\)로 변환합니다. \(P = 0.5\)일 때 결과는 정확히 x0가 되며, P가 0이나 1에 가까워질수록 결과는 음의 무한대 또는 양의 무한대로 발산합니다. 이는 코시 분포가 평균과 분산이 정의되지 않을 만큼 두꺼운 꼬리(heavy tail)를 가진다는 잘 알려진 특성을 그대로 보여줍니다.
계산 예시
x0 = 0, γ = 1에서 하측 95번째 백분위수를 구해 보겠습니다. P = 0.95이므로 $$x = 0 + 1 \cdot \tan(\pi \cdot 0.45) = \tan(1.41372\ \text{rad}) \approx 6.31375$$ 입니다. 검산해 보면 \(F(6.31375) = 0.5 + \frac{1}{\pi}\arctan(6.31375) = 0.5 + 0.45 = 0.95\)로 정확히 맞습니다. x0 = 2, γ = 3, P = 0.75인 경우에는 $$x = 2 + 3 \cdot \tan(\pi \cdot 0.25) = 2 + 3 \cdot 1 = 5.0$$ 입니다.
자주 묻는 질문
하측 방식과 상측 방식의 차이는 무엇인가요? 두 방식은 서로 보완 관계입니다. 상측 확률 0.05는 하측 확률 0.95와 동일한 x 값을 줍니다.
확률은 왜 반드시 0과 1 사이여야 하나요? 정확히 0 또는 1에서는 분위수가 음/양의 무한대가 되어 유한한 수치값을 가지지 않기 때문입니다.
척도 모수가 음수여도 되나요? 안 됩니다. 척도 모수 γ는 반드시 0보다 커야 합니다. 이는 반치폭을 나타내는 값이므로 음수 값은 정의되지 않습니다.
