코시 분포란?
코시 분포는 로렌츠 분포라고도 불리는 연속확률분포로, 위치 모수 a(중앙값이자 봉우리의 위치)와 양수인 척도 모수 b > 0(최대값 절반 지점에서의 반치폭)으로 정의됩니다. 가장 큰 특징은 두꺼운 꼬리(heavy tail)로, 평균과 분산이 모두 유한하지 않다는 점입니다. 이 계산기는 여러 x 값에 대해 분포를 계산해 (x, 값) 쌍으로 이루어진 그래프용 표를 만들어 줍니다.
계산기 사용법
먼저 함수를 고르세요. 확률밀도 f, 하측 누적확률 P, 상측 누적확률 Q 중 하나를 선택할 수 있습니다. 이어서 위치 모수 a와 척도 모수 b(반드시 양수)를 입력합니다. 그런 다음 시작값, 증가 폭(step), 점의 개수를 지정해 x 수열을 정의합니다. k번째 x는 x_k = xInitial + k * xStep(k는 0부터 count-1까지)로 계산됩니다. 기본 설정은 -5부터 +5까지 0.1 간격으로 훑는 101개의 점입니다.
공식
\(z = (x - a) / b\) 로 두겠습니다. 확률밀도는 $$f(x) = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{\text{Scale } b}{\left(x - \text{Location } a\right)^2 + \text{Scale } b^2}$$ 이며, 이는 \(\frac{1}{\pi b (1 + z^2)}\) 와 같습니다. 하측 누적분포함수는 $$P(x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi}\arctan\!\left(\frac{x - \text{Location } a}{\text{Scale } b}\right)$$ 이고, 상측(생존) 함수는 $$Q(x) = 1 - P = \frac{1}{2} - \frac{1}{\pi}\arctan\!\left(\frac{x - \text{Location } a}{\text{Scale } b}\right)$$ 입니다. arctan 값은 항상 \((-\pi/2, \pi/2)\) 범위 안에 있으므로 P와 Q는 모두 0과 1 사이에 엄밀하게 머무릅니다.
예제 풀이
\(a = 0\), \(b = 0.7\)일 때 \(x = 1\)에서의 확률밀도를 구해 봅시다. \((x-a)^2 + b^2 = 1 + 0.49 = 1.49\) 이므로 \(f = \frac{1}{\pi}\left(\frac{0.7}{1.49}\right) \approx 0.14954\) 입니다. 같은 지점에서 하측 누적확률은 \(\arctan(1/0.7) = 0.96007\) 이므로 \(P = 0.5 + 0.96007/\pi \approx 0.80559\) 이고, \(Q = 1 - 0.80559 = 0.19441\) 입니다. 봉우리인 \(x = a\) 에서는 \(f = 1/(\pi b)\) 이고 \(P = Q = 0.5\) 가 됩니다.
자주 묻는 질문
b는 왜 반드시 양수여야 하나요? 척도 모수가 0 이하이면 폭이 0이거나 음수가 되어 확률밀도와 누적분포가 정의되지 않습니다. 그래서 계산기는 b를 아주 작은 양수로 보정합니다.
평균이 표시되지 않는 이유는? 코시 분포는 두꺼운 꼬리 때문에 평균과 분산이 정의되지 않습니다. 이 계산기는 각 점에서의 확률밀도와 꼬리 확률만 알려 줍니다.
'값(value)' 열은 무엇인가요? 선택한 함수(f, P, Q)를 각 x에서 계산한 결과로, 가로축에 x를 두고 바로 그래프로 그릴 수 있습니다.
