완전세제곱수란?
완전세제곱수는 어떤 정수를 세 번 곱해서 만들 수 있는 정수를 말합니다. 즉, 정수 k에 대해 \(n = k^{3}\) 형태로 나타낼 수 있는 수입니다. 예를 들어 \(3 \times 3 \times 3 = 27\)이므로 27은 완전세제곱수이고, \(10^{3} = 1000\)이므로 1000도 완전세제곱수입니다. 이 계산기는 입력한 수가 완전세제곱수인지 즉시 판별하고, 맞다면 정수 세제곱근을 알려주며, 아니라면 가장 가까운 완전세제곱수를 보여줍니다.
계산기 사용 방법
입력란에 정수를 입력하고 실행하면 됩니다. 계산기는 세제곱근을 구한 뒤 가장 가까운 정수로 반올림하고, 그 정수를 다시 세제곱한 값을 원래 입력값과 비교합니다. 두 값이 정확히 일치하면 그 수는 완전세제곱수입니다. 음수의 세제곱은 음수이므로(예: \(-8 = (-2)^{3}\)) 음수도 입력할 수 있습니다.
공식 풀이
부동소수점 오차 없이 완전세제곱수를 판별하는 확실한 방법은 다음과 같습니다. 먼저 세제곱근을 구해 가장 가까운 정수 \(k\)로 반올림한 뒤, \(k^{3}\)이 원래 수와 같은지 확인하는 것입니다. 기호로 나타내면, 다음과 같을 때 정확히 \(n\)은 완전세제곱수입니다.
$$\text{Perfect Cube} \iff \left(\operatorname{round}\!\left(\sqrt[3]{\left|\text{Number}\right|}\,\right)\right)^{3} = \left|\text{Number}\right|$$세제곱하기 전에 반올림을 하면, 세제곱근 값을 그대로 비교할 때 생기는 미세한 반올림 오차를 피할 수 있습니다.
예제 풀이
\(n = 64\)를 살펴봅시다. 세제곱근이 정확히 4이고 \(4^{3} = 64\)이므로, 64는 세제곱근이 4인 완전세제곱수입니다. 이번에는 \(n = 100\)을 봅시다. 세제곱근은 약 4.64로 반올림하면 5가 되지만, \(5^{3} = 125 \neq 100\)이므로 100은 완전세제곱수가 아닙니다. 이때 가장 가까운 완전세제곱수는 125입니다.
자주 묻는 질문
0은 완전세제곱수인가요? 네. \(0 = 0^{3}\)이므로 0은 완전세제곱수입니다.
음수도 완전세제곱수가 될 수 있나요? 네. 완전제곱수와 달리 음수도 완전세제곱수가 될 수 있습니다. 예를 들어 \(-27 = (-3)^{3}\)입니다.
처음 몇 개의 완전세제곱수는 무엇인가요? 0, 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000입니다.
