완전제곱식이란?
완전제곱식이란 \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) 또는 \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) 처럼 이항식의 제곱으로 나타낼 수 있는 이차식을 말합니다. 일반적인 삼항식 \(ax^2 + bx + c\)의 경우, 판별식이 0일 때, 즉 \(b^2 = 4ac\)일 때 정확히 완전제곱식이 됩니다. 이 계산기는 세 개의 계수를 입력하면 해당 삼항식이 완전제곱식인지를 즉시 알려주고, 인수분해된 형태까지 보여줍니다.
계산기 사용 방법
계수 a(x² 앞의 수), b(x 앞의 수), c(상수항)를 입력하세요. 계산기는 \(b^2\)과 \(4ac\)를 계산해 두 값을 비교한 뒤 "예" 또는 "아니요"로 판별합니다. 완전제곱식이라면 \((\sqrt{a}\,x \pm \sqrt{c})^2\) 형태로 인수분해 결과를 보여주며, 가운데 부호는 b의 부호를 따릅니다.
공식 풀이
\((\sqrt{a}\,x + \sqrt{c})^2\)을 전개하면 \(a\,x^2 + 2\sqrt{ac}\,x + c\)가 됩니다. 가운데 항의 계수가 일치하려면 \(b = 2\sqrt{ac}\)여야 하고, 양변을 제곱하면 \(b^2 = 4ac\)가 나옵니다. 따라서 \(b^2 = 4ac\)를 확인하는 것은 곧 이차식이 중근(이중근)을 갖는지를 확인하는 것과 정확히 같으며, 이것이 바로 완전제곱식의 정의입니다.
$$\text{a}\,x^{2} + \text{b}\,x + \text{c} = \left(\sqrt{\text{a}}\,x \pm \sqrt{\text{c}}\right)^{2} \quad\text{iff}\quad \text{b}^{2} = 4\,\text{a}\,\text{c}$$
예제로 알아보기
\(x^2 + 6x + 9\)를 살펴봅시다. 여기서 \(a = 1\), \(b = 6\), \(c = 9\)입니다. 그러면 \(b^2 = 36\)이고 \(4ac = 4 \times 1 \times 9 = 36\)입니다. \(36 = 36\)이므로 완전제곱식입니다. \(\sqrt{a} = 1\), \(\sqrt{c} = 3\)이고 가운데 항이 양수이므로 \((x + 3)^2\)으로 인수분해됩니다. 검산: \((x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9\). ✓
자주 묻는 질문
a나 c가 음수이면 어떻게 되나요? 실수 범위의 일반적인 완전제곱식이 되려면 제곱근이 실수여야 하므로 a와 c가 음수가 아니어야 합니다. \(b^2 = 4ac\) 검사는 여전히 판별식을 확인하지만, 표시되는 이항식 인수분해는 실근을 전제로 합니다.
b의 부호가 중요한가요? 인수분해 형태에만 영향을 줍니다. b가 음수이면 \((\sqrt{a}\,x - \sqrt{c})^2\), b가 양수이면 \((\sqrt{a}\,x + \sqrt{c})^2\)이 됩니다. 완전제곱식 여부 판별 자체는 \(b^2\)을 사용하므로 부호는 결과에 영향을 주지 않습니다.
왜 b²이 정확히 4ac와 같아야 하나요? 완전제곱식은 중근을 갖기 때문입니다. 판별식이 다른 값을 가지면 서로 다른 두 근(또는 실근 없음)을 의미하므로, 삼항식이 하나의 제곱된 이항식으로 정리될 수 없습니다.
