Qu'est-ce qu'un trinôme carré parfait ?
Un trinôme carré parfait est une expression du second degré qui peut s'écrire comme le carré d'un binôme, par exemple \((a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}\) ou \((a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}\). Pour un trinôme général de la forme \(ax^{2} + bx + c\), cela se produit exactement lorsque son discriminant est nul, c'est-à-dire lorsque \(b^{2} = 4ac\). Ce calculateur prend les trois coefficients et vous indique instantanément si le trinôme est un carré parfait, puis vous en donne la forme factorisée.
Comment utiliser le calculateur
Saisissez le coefficient a (le nombre devant \(x^{2}\)), b (le nombre devant \(x\)) et c (le terme constant). L'outil calcule \(b^{2}\) et \(4ac\), les compare, puis répond « Oui » ou « Non ». S'il s'agit bien d'un carré parfait, la forme factorisée \(\left(\sqrt{a}\,x \pm \sqrt{c}\right)^{2}\) s'affiche, avec un signe qui correspond à celui de \(b\).
La formule expliquée
En développant \(\left(\sqrt{a}\,x + \sqrt{c}\right)^{2}\), on obtient \(a\,x^{2} + 2\sqrt{ac}\,x + c\). Pour que le coefficient du terme central concorde, il faut que \(b = 2\sqrt{ac}\) ; en élevant les deux membres au carré, on aboutit à $$b^{2} = 4ac.$$ Vérifier l'égalité \(b^{2} = 4ac\) revient donc exactement à vérifier que l'équation du second degré possède une racine double, ce qui est précisément la propriété qui définit un trinôme carré parfait.
Exemple résolu
Prenons \(x^{2} + 6x + 9\). Ici \(a = 1\), \(b = 6\) et \(c = 9\). On a alors \(b^{2} = 36\) et $$4ac = 4 \times 1 \times 9 = 36.$$ Comme \(36 = 36\), il s'agit bien d'un carré parfait. Avec \(\sqrt{a} = 1\), \(\sqrt{c} = 3\) et un terme central positif, le trinôme se factorise en \((x + 3)^{2}\). Vérification : \((x + 3)^{2} = x^{2} + 6x + 9\). ✓
FAQ
Que se passe-t-il si a ou c est négatif ? Un trinôme carré parfait réel classique exige que \(a\) et \(c\) soient positifs ou nuls, afin que les racines carrées soient bien réelles. Le test \(b^{2} = 4ac\) signale toujours l'annulation du discriminant, mais la factorisation en binôme affichée suppose des racines réelles.
Le signe de b a-t-il une importance ? Uniquement pour la forme factorisée : un \(b\) négatif donne \(\left(\sqrt{a}\,x - \sqrt{c}\right)^{2}\), un \(b\) positif donne \(\left(\sqrt{a}\,x + \sqrt{c}\right)^{2}\). Le test du carré parfait, lui, repose sur \(b^{2}\), donc le signe n'influe pas sur le fait que le trinôme soit éligible ou non.
Pourquoi b² doit-il être exactement égal à 4ac ? Parce qu'un carré parfait possède une racine double ; toute autre valeur du discriminant signifie deux racines distinctes (ou aucune), de sorte que le trinôme ne peut pas se ramener à un unique binôme élevé au carré.
